¿Cuánta energía se puede sacar del viento? Límite de Betz

Las leyes de la física, impide que se pueda extraer toda la potencia disponible en el viento a su paso por el rotor de un aerogenerador. El viento a su paso se frena, saliendo del mismo con una velocidad menor que con la que ha entrado. En la práctica se aprovecha un 40% de la potencia eólica disponible.
La máxima potencia eólica aprovechada la define el Límite de Betz...
La energía eólica es la energía cinética del viento.
La potencia disponible del viento que pasa perpendicularmente a través de un área circular (la realizada por las palas del rotor, r) es:

Esta expresión nos indica que la potencia eólica disponible es proporcional a la densidad del aire, al área expuesta perpendicularmente al flujo de viento y al cubo de la velocidad del mismo.
La potencia eólica disponible es la máxima potencia que podríamos extraer al viento si pudiésemos convertir toda su energía cinética en energía útil. El límite de Betz, lor rozamientos aerodinámicos y mecánicos, rendimientos del generador eléctrico, etc. sólo nos permitirán en la práctica, en el mejor de los casos, un 40% de la potencia eólica disponible.
La potencia eólica extraída o captada del viento por el rotor de la máquina se conoce como Potencia Eólica Aprovechada (Pa). El rendimiento de conversión se describe por un Coeficiente de Potencia (Cp) definido como la relación entre la potencia aprovechada y la disponible (Cp=Pa/Pd). Es la fracción de la energía cinética del viento convertida en energía cinética de rotación en el rotor del aerogenerador.
Existe un límite superior para la potencia eólica aprovechada, según el cual ningún aerogenerador puede extraer del viento una potencia superior a la fijada por este límite. Este es el definido por la Teoría de Betz y, aunque este teorema se demuestra para máquinas de eje horizontal (tipo hélice), sus conclusiones son aplicables a las de eje vertical. De hecho, el rendimiento de estas últimas se acostumbra a referir a la potencia máxima aprovechada dada por el límite de Betz.
Límite de Betz:
Para calcular cuando tendremos máxima potencia mecánica, derivamos e igualamos a cero :
 
La máxima potencia ocurre cuando a = 1/3, por tanto :

Este valor, es el máximo valor de la potencia contenida en el tupo de corriente del aire que es capaz de extraer el rotor de una aeroturbina.
Una turbina eólica puede convertir en energía mecánica como máximo un 59,26 % de la energía cinética del viento que incide sobre ella.
La teoría de Betz es una simplificación ya que no tiene presente algunos aspectos existentes en la práctica como resistencia aerodinámica de las palas, pérdida de energía por turbulencia de la estela, la compresibilidad del aire y la propia interferencia entre las palas.
Esta teoría es sólo una aproximación al problema de determinar la potencia que puede obtenerse de una eólica de eje horizontal, pero es útil para establecer un límite superior para el coeficiente de potencia Cp (rendimiento de conversión de potencia eólica-mecánica un aerogenerador).
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