El método de la secante e implementación en Python

Un algoritmo alternativo al de la bisección para la búsqueda de raíces es el método de la secante. Generalmente es un método más eficiente ya que, mientras el primero utiliza el punto intermedio para buscar el punto de corte y aproximar la raíz, el método de la secante emplea como aproximación la secante para buscar la solución. Siendo esta una aproximación de la forma de la función. Al igual que el método de la bisección para que este obtenga un resultado es necesario que la función sea continua el intervalo y el signo de la función en ambos extremos sea diferente.

Secante como aproximación de la raíz

La implementación del método de la secante es relativamente sencillo. Si se tiene una función continua f(x) tal que en un intervalo inicial [a_0, b_0] se cumpla la desigualdad f(a_0)f(b_0) < 0 entonces se pueden encontrar valor x tal que f(x) = 0 . Ahora, la línea que una los valores del punto inicial (a_0, f(a_0)) y final del intervalo (b_0, f(b_0)) se llama secante y su fórmula es la siguiente

y = \frac{f(b_0) -f(a_0)}{b_0 - a_0} (x - a_0) + f(a)

Una fórmula que se puede usar como una aproximación lineal de la función original. Para esta expresión se puede obtener fácilmente el punto de corte en con el eje x, simplemente igualado su valor a 0 y despejando x. Obteniéndose como resultado

x = a_0 -f(a_0) \frac{b_0 -a_0}{f(b_0) - f(a_0)}

Algoritmo para implementar el método de la secante

Los pasos para la implementación del método de la secante son casi idénticos a los de la bisección. El único cambio es la forma en la que se dividen los intervalos

1. Seleccionar un intervalo inicial [a_0, b_0] en que el valor de la función cambia de signo f(a_0)f(b_0)<0
2. Calcular el punto de corte del intervalo usando para ello la raíz de la secante x_m = a_0 -f(a_0) \frac{b_0 -a_0}{f(b_0) - f(a_0)}
3. Si f(x_0) es distinto de cero, entonces obtener el siguiente intervalo, para ellos si f(a_0)f(x_0) < 0 entonces [a_1, b_1] = [a_0, x_0], en caso contrario se usará [a_1, b_1] = [x_0, b_1]
4. Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el intervalo sea tan pequeño como se desee o se encuentre la raíz.
5. En el caso de que no se hubiese encontrado la raíz, entonces usar como aproximación el punto x_n

En el método de la bisección era posible conocer cuál sería el error máximo en la estimación después de N pasos, debido a que los intervalos siempre se dividen por la mitad. Pero para el método de la secante esto no es así y por lo tanto no se puede conocer acotar el error antes de comenzar el proceso.

Implementación en Python

En base a los pasos explicados en la sección anterior es fácil implementar una función secant() en Python tal que pueda obtener la raíz de una función en base al método de la secante.

import math


def secant(fun, x_a, x_b, steps=50):
    # The secant method cannot be applied
    if fun(x_a) * fun(x_b) >= 0:
        print("The secant method cannot be applied")
        return None
    
    # The secant method 
    for n in range(steps + 1):
        # Calculate the secant
        x_n = x_a - f(x_a)*(x_b - x_a)/(f(x_b) - f(x_a))
        
        if f(x_n) == 0:
            return x_n
        
        if f(x_a) * f(x_n) < 0:
            x_b = x_n
        else:
            x_a = x_n

    return x_n

Una función que tiene como entrada la función, los valores del intervalo inicial, y el número máximo de pasos que se desea ejecutar. Lo primero que hace el código es comprobar que es posible aplicar el método sobre la función en el intervalo dado, para lo que comprueba que el signo es diferente en ambos puntos.

Una vez realizada la comprobación inicial se procede a dividir el intervalo de forma recurrente hasta que se encubra la solución o se llega al máximo de pasos permitidos.

Validación de los resultados

Ahora se puede probar el correcto funcionamiento de la función con un polinomio tal como x^2 + 2 x - 8x que tiene una raíz en -4 y otra en 2. Llamando a la función con diferentes números de pasos máximo vemos como el resultado obtenido se acerca cada vez más a la raíz.

f = lambda x: x**2 + 2*x - 8

secant(f, 0, 5,  5) # 1.995887594242632
secant(f, 0, 5, 15) # 1.9999999303082814
secant(f, 0, 5, 25) # 1.9999999999988198
secant(f, 0, 5, 35) # 2.0

Conclusiones

En esta ocasión se ha visto otro método clásico para la búsqueda numérica de raíces en funciones. A pesar de su sencillez, el método de la secante suele obtener buenos resultados en la mayoría de los casos.