El problemático juego de la botella

Me gusta almorzar con el agua fría de una botella de cristal que guardo en la puerta de mi nevera. Pero mientras que como, nunca me bebo la botella entera; suelo tomarme sólo la mitad y después relleno el volumen consumido con agua del grifo. Llevo haciendo esto meses.
Anoche, volviendo a casa, me planteé una inquietante pregunta: ¿quedará todavía en la botella alguna molécula de agua esperando a ser bebida desde el día que la compré?
Para resolver este problema, calculé primero cuántas moléculas de agua hay en un litro, suponiendo (y ya es mucho suponer) que sea agua pura. Según Avogadro, el amigo de los niños, un mol de agua pesa 18 gramos. Como un litro de agua pesa un kilo, un litro de agua son 55,56 moles, lo que equivale a 3,35*10^25 moléculas de agua (más o menos 33 cuatrillones).
El primer día, al beber media botella, reduje esta cifra de moléculas a la mitad. Rellené la botella y mezclé el agua antigua con la nueva. El segundo día, volví a reducir la cifra de moléculas a la mitad, quedando la cuarta parte de las moléculas originales. Así, el tercer día quedó la octava parte y el cuarto, la dieciseisava. Se puede plantear con la siguiente ecuación cuántos días necesito para que quede una sola molécula:
Número de moléculas / 2 elevado al número de días = 1.
En resumen y despejando, (3,35 * 10^25) / 2^x = 1, donde x=84,79.
O sea, que en 85 días no debería quedar ninguna molécula original de agua. Sencillo, ¿no?
Pues no. Pronto caí en la cuenta de que el problema es mucho más complejo. Vayámonos al día en el que queda una sola molécula. Podría bebérmela o no bebérmela, con un 50% de posibilidades de hacerlo. Si no lo hago y relleno la botella, al día siguiente vuelvo a tener el mismo problema. Ésa última molécula de agua podría resultar terriblemente escapadiza y quedarse en la botella para siempre. Claro, que cada día que pase, el hecho de que siga quedando esa molécula en la botella es menos probable. Matemáticamente, la probabilidad de que quede agua en la botella a partir del día 85 se calcularía con la siguiente fórmula:
p = 1 / (2^(día - 85))
¿Hemos terminado? Yo al principio creí que sí, pero al final me di cuenta de que no. Si retrocedemos al día 84, en el que todavía quedan dos moléculas, ¿qué ocurre si me dejo las dos dentro de la botella? ¿Qué ocurre si me bebo las dos? ¿Qué pasa si el día que quedan cuatro moléculas no me bebo ninguna? Según la distribución binomial, cuanto menos moléculas quedan menos probable es que me aproxime al número de moléculas que debería beber para que se cumpliera mi modelo. ¡Todas las cuentas se vuelven inútiles!
Parece lógico pensar que la solución de 85 días es una aproximación. Cómo de buena es ésta aproximación y si existe una manera mejor de enfocar este problema son dudas con las que llevo luchando el día de hoy.
Foto: La dichosa botella.