El teorema de Tamref

Hoy os traigo un sencillo problema de teoría de números cuya demostración cabe en el margen de cualquier libro.
Se trata de demostrar que la ecuación

no tiene soluciones enteras para , porque, claro, si es evidente que sí hay soluciones. Por ejemplo, basta tomar y ; o bien y .
No, no me estoy volviendo loco. Esto no es el Último Teorema de Fermat. Pero digamos que la relación que tiene con él es la misma que la Conjetura de Hcabdlog con la archiconocida Conjetura de Goldbach.
Si en una semana no han dado con la solución, os la dejaré en un artículo. En la fuente original [1] viene cómo resolverlo, así que lo suyo sería no mirarla.
Aunque, ahora que lo pienso, os dejo con un problema derivado que se me acaba de ocurrir y cuya solución no viene en la fuente.
Para , ¿hay más soluciones aparte de las que ya he dado? Mejor todavía ¿podéis encontrar una esquema para dar soluciones a este problema? Calla, canalla! que mi mente va a 1000 y se me ha ocurrido algo aún mejor ¿podéis darme todas las soluciones para este caso?
¡Hala! Ahí queda eso.
Tito Eliatron Dixit

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REFERENCIA:
[1] Su, Francis E., et al. tamreF's Last Theorem, Math Fun Facts.  Vota a Tito Eliatron Dixit en los Premios Bitacoras2010, categoría Ciencias