La tiranía de la ecuación de Tsiolkovski o por qué estamos atrapados

Supongamos que por alguna razón queremos hacer una misión espacial. La variable más importante que debemos tener en cuenta es la delta-v o variación de velocidad (Δv). Las naves espaciales no conocen lo que es la autonomía ni el alcance. En teoría (y en astrodinámica la teoría se parece bastante a la práctica) una vez que alcanzas velocidad de escape puedes llegar a Andrómeda o a la Pequeña Nube de Magallanes si no chocas con nada por el camino o si de casualidad no te atrapa el campo gravitacional del un astro (o si no te secuestran los reptilianos, pero esto es hilar muy fino).

La velocidad de escape del planeta Tierra se puede expresar como la raíz cuadrada del doble de mu entre la distancia al centro de la Tierra.
v_esc = √ (2μ/r)
Siendo mu (μ) = G*M (constante gravitacional (no preguntéis) por masa terrestre (parámetro conocido)) y el radio de la Tierra 6.371.000 metros. Con lo que la velocidad de escape de la Tierra es aproximadamente de 11.183 m/s. Expresado en términos de variación de velocidad (delta-v), diríamos que partiendo de una velocidad cero tenemos que alcanzar once mil metros por segundo. Ésa es nuestra delta-v para salir de la atracción terrestre y sumergirnos en el inhóspito vacío espacial rumbo a lo desconocido y misterioso.
Pero supongamos que por algún casual a alguien se le ocurre que tal vez sea buena idea regresar a la Tierra. En ese caso tenemos la velocidad orbital, que es la velocidad a la que un objeto alcanzará y mantendrá una órbita circular en torno a la Tierra.
v_o = √ (μ/r) = 7.907,26 m/s
Tiene bastante sentido que sea una velocidad menor que la velocidad de escape ya que no abandonamos el abrazo gravitatorio de este planeta que llamamos Tierra y debería llamarse Agua. Pero ¿de dónde sale esta ecuación? Me alegra que me lo preguntes.

La ecuación que determina la velocidad a la que orbita un objeto se expresa de la siguiente manera:

v = √ [μ(2/r - 1/a)]
Siendo 'r' la distancia al centro del planeta en torno al cual está orbitando el objeto y 'a' la mitad del semieje mayor de la elipse (el semieje mayor es la línea que podemos trazar en una órbita elíptica desde el apoapsis hasta el periapsis, en el caso de la Tierra, desde el apogeo hasta el perigeo). Bien, en el caso de una órbita circular tenemos que r =a. Luego nuestra ecuación será:
v = √ [μ(2/r - 1/r)] (creo que es casi imposible y nada intuitivo restar fracciones pero aún así lo intento) = √ (μ/r) ¡tachán! 
De acuerdo, estamos en órbita circular en torno a la Tierra ¿cómo aterrizamos? Pues con cuidado y variando nuestra velocidad de 7.900 m/s a cero. Luego una misión espacial que consista en alcanzar una órbita circular y regresar a Monforte de Lemos necesitará una delta-v total de 15.815 m/s. Claro, esto en condiciones de vacío, pero la Tierra es un planeta especialmente puñetero y te aparecen la resistencia atmosférica y la resistencia gravitacional que serán variables a calcular con ecuaciones ad hoc. Incluso si nuestro cohete despega y tras cierta altitud se inclina hacia el este para aprovechar la velocidad de giro de la Tierra, aún así no compensaremos la pérdida de delta-v. Así que añádase a cualquier cálculo unos cuantos cientos de metros por segundo para ir sobre seguro (en los presupuestos de delta-v que veo por ahí, toman 9,5 km/s como referencia. Exagerados).

Saturno V en primer plano. Al fondo un Titan III despega. Fueron tiempos heroicos.

Esta resistencia atmosférica no siempre juega en nuestra contra. A la hora de regresar a tierra las naves espaciales suelen usar el aerofrenado. Cuando vemos las cápsulas que se ponen incandescentes por la fricción y compresión de las partículas del aire, realmente estamos viendo cómo energía cinética se transforma en calor ahorrando a los intrépidos pilotos preciosa delta-v. Las cápsulas bien podrían descender sin volverse incandescentes si usaran sus motores para frenar… ah, pero es que cada metro por segundo que puedas ahorrar vale (exponencialmente) su peso en oro. ¿Pero por qué es tan valiosa la delta-v? Por la ecuación de Tsiolkovski.
Ecuación de Tsiolkovski
Esta ecuación es el eje fundamental que explica el comportamiento de los cohetes y nos sirve para calcular la variación de velocidad en función de un tipo de motor (en concreto de su impulso específico) y del propelente (y/o combustible) a usar. Tsiolkovski llega a esta ecuación partiendo de la segunda ley de Newton que nos dice que todas las fuerzas que actúan sobre un objeto son iguales al ritmo de cambio de su momento lineal. Resulta que un cohete lleva dentro combustible (y/o propelente) y mientras cambia su velocidad consume ese combustible o expulsa ese propelente, luego su masa varía. Es decir, hay una relación entre la variación de masa del cohete y su variación de velocidad. En concreto la relación se expresa tal que así:
Δv = v_e * ln (m₀/m₁)

• Siendo Δv la delta-v o variación de velocidad (que nos hace cambiar de órbita, salir de un planeta, aterrizar, etc).
• v_e es la velocidad de escape del motor. Cada motor tiene un impulso específico que al multiplicarlo por la gravedad terrestre (en nuestro caso) nos da su velocidad de escape. Diferentes motores y combustibles tienen diferentes impulsos específicos.
• m0 es la masa inicial y m1 la masa final. m0 cuando nuestro cohete está en la base de lanzamiento es el resultado de sumar toda su masa: propelente, estructura, señores en la cápsula, una imagen de la Virgen María, galletitas, etc. m1 es la masa final cuando hemos logrado cambiar nuestra velocidad. Si estamos haciendo un lanzamiento en varias etapas, podemos conocer la masa final una vez hemos alcanzado la órbita pero en ocasiones nos resultará útil calcular la masa entre cada etapa (motores que funcionan muy bien en vacío no funcionan tan bien en la atmósfera así que nos interesará tener varias etapas para usar varios motores diferentes, si tenemos dos etapas, nuestra primera m1 será nuestra segunda m0). 

Conociendo la gráfica del logaritmo neperiano, es inmediato descubrir que sin variación de masa no vas a cambiar tu velocidad. También es bastante inmediato deducir que existe una relación exponencial entre la delta-v y tu proporción de masas. Explico esto: pongamos que eliges tu motor y conoces su velocidad de escape, para aumentar un poquito tu delta-v necesitarás aumentar un muchito tu proporción de masas (m0/m1). Y si quieres aumentar mucho tu delta-v tendrás que aumentar una enormidad tu proporción de masas. Para hacernos una idea, los cohetes conocidos suelen estar formados en un 85% por propelente y un 15% por aparatos, estructura, agua, ordenadores y señores.
Pero dejemos a un lado la tensión dramática y elijamos de una vez un tipo de impulso. En el mundo de los combustibles de cohetes y propelentes, curiosamente hay una relación directa entre impulso específico de un compuesto y su toxicidad. Si pudiera elegir elegiría un motor químico de hidrazina, pero tampoco quiero que me lluevan las demandas porque sé que la gente va a trabajar al taller espacial sin su traje de bioseguridad (en realidad si fuera totalmente libre para elegir y los ecologistas no existieran, elegiría un motor nuclear y pondría mi base de lanzamiento muy lejos de mi casa, jiji). Bueno venga, elijo un motor de oxígeno líquido e hidrógeno líquido que son unos viejos conocidos abundantísimos. Este tipo de motor tiene una velocidad de escape a nivel del mar de 3.816 m/s y en el vacío de 4.462 m/s.

El transbordador espacial, arruinándolo todo.

Bien, para alcanzar la órbita y volver a Monforte habíamos dicho que necesitábamos una velocidad de 15.815 m/s. Realmente lo ideal sería usar en la primera etapa algún tipo de combustible que no necesitara un oxidante y nos diera un bonito impulso específico en la atmósfera, pero para simplificar los cálculos, tomaré el viaje como una sola etapa con la velocidad de escape de este motor a nivel del mar (para ponerme en el peor caso ya que estamos haciendo trampas). Así, tenemos:
15.815 = 3.816 * ln (m₀/m₁)ln (m0/m1) = 4,14 (dejémoslo en 4), con lo que m0/m1 = e⁴= 54,5 <— con la experiencia que tenemos en lanzar cohetes sabemos que esta proporción es una salvajada (el Saturno V tenía una proporción de masas de 22 (claro que hubiera montado la ISS en un par de viajes)), por lo tanto este motor cumpliría su función pero no es lo más eficiente para la misión. Es más, sería especialmente ineficiente pues ese 54,5 significa que por cada tonelada de cohete +  carga necesitamos 54,5 toneladas de propelente. 

Pequeños incrementos de la delta-v requieren proporciones de masas disparatadas.

¿Cómo ser más eficientes? Mirando la ecuación podemos elegir entre buscar una velocidad de escape del motor mayor, o bien una proporción de masas menor o una combinación de ambas. En el mundo real, como dije antes, los cohetes usan varias etapas para aprovechar la diferencia de condiciones de presión, oxígeno y resistencia atmosférica.

Bien, pero hasta ahora sólo hemos hablado de ponernos en órbita y regresar a la Tierra. Una misión así es muy ridícula (a no ser que seas un turista espacial o trabajes para el gobierno). Como la velocidad de escape en la Luna es mucho más pequeña que en la Tierra, lo suyo sería planear misiones espaciales que partan de la Luna (donde también puedes obtener propelente para el viaje. En serio, llevar propelente desde la Tierra es tirar el dinero). Supongamos pues que en el futuro Movistar decide colocar un satélite en órbita a Marte y su nave sale de la base espacial que tiene Viajes Castromil S.A. en el Mar de la Tranquilidad. ¿Qué delta-v necesitaríamos?
Δv_total = escapar de la Luna + atrapar órbita marciana
escapar de la Luna = √ (2*G*masa de la Luna/radio de la Luna)=2.375 m/s
atrapar órbita marciana = √ (G*masa de Marte/radio de Marte)=1.122,6 m/s
Δv_total = 2.375 + 1.122,6 = 3.497,6 m/s es decir, salir de la Luna y meterte en una órbita marciana supone la mitad de lo que se requiere solamente para salir de la Tierra. Esto nos tiene que hacer pensar. Si un impedimento habitual que argumentan los anti-espacio es el coste de ir al espacio, hay que saber que una vez superada la primera barrera, todos los costes se desplomarían a una fracción. Bueno, todos no: el ordenador, las reglas de cálculo y los lápices cuestan lo mismo. Pero al necesitar mucha menos delta-v para despegar, cada kilogramo de propelente te rendiría mucho más.

Hemos visto que la proporción de masas en la ecuación de los cohetes de Tsiolkovski es la clave del asunto. En general, en los viajes por el espacio te interesa que tu masa con los tanques vacíos sea mínima y para eso la masa estructural debe minimizarse (y los ingenieros deben miniaturizar los ordenadores con las conocidas aplicaciones que tiene este proceso en todos los aspectos de la vida cotidiana). Así que una nave espacial que sólo vuele por el espacio digamos en una ruta Luna-Órbita marciana será un cascarón finísimo. Bien, a ciertas velocidades (y una velocidad final de 3,5 km/s es respetable) cualquier partícula o mota de polvo espacial que choque contra tu casco tiene consecuencias horribles. Por lo tanto, es bastante probable que tras ciertos viajes no puedas reutilizar tu nave espacial. ¿Os imagináis que los aviones que van de Coruña a Madrid hubiera que desguazarlos cada cinco o seis viajes? ¿Cuánto se dispararía el precio del billete?
De momento lo dejo aquí, pero seguiré.
Llegada a Nuevo Mundo