Simetrías escondidas en las ecuaciones

Especial Año Internacional de la Cristalografía

La cristalografía es la ciencia que estudia a las estructuras cristalinas y las propiedades de los cristales. Se basa principalmente en el orden y la simetría, conceptos indudablemente matemáticos. La simetría es un importante concepto no solo en las matemáticas, si no también en la física, en la biología, en el arte… Pero además, matemáticamente, las simetrías son lo mismo que las soluciones de las ecuaciones. Es decir, si miramos de manera abstracta las simetrías, su estructura es la misma que las de las soluciones de ecuaciones polinómicas. Efectivamente, ambos son lo que se llama en matemáticas, un grupo.

Un grupo es un conjunto con una operación (por ejemplo, los números enteros con la suma), en el que se cumplen ciertas propiedades:

1)   Proximidad. El resultado de “operar” dos elementos del grupo (por ejemplo, de sumar dos números enteros), sigue siendo un miembro del grupo (efectivamente, lo es, otro número entero).

2)   Propiedad asociativa. Cuando se operan tres elementos del grupo, el resultado es el mismo que si opero primero dos de ellos, y el resultado se opero con el tercero, independientemente de cuales de ellos escoja antes o después.

3)   Elemento neutro. En el grupo, hay un elemento que, al operarlo con cualquier otro, lo deja inalterado (el cero, en nuestro caso).

4)   Elemento inverso. Para cualquier elemento del grupo, hay otro que, al operarlo, obtengo el neutro (el opuesto: de 3, -3, que suman cero, de -2765, 2765).

La definición de grupo es tan general que es un concepto aplicable a multitud de estructuras. Los elementos de un grupo pueden ser de diverso tipo: las simetrías del cuerpo humano, o las de un triángulo equilátero, y también  extraños conjuntos matemáticos con una operación imposible definida entre ellos. Cualquier cosa, mientras que cumplan las cuatro propiedades anteriores.

Evariste Galoise fue el creador del concepto de grupo

De esta manera, la recopilación de todas las transformaciones de simetría de cualquier sistema, es decir, el conjunto de las modificaciones que dejan inalterado cualquier sistema, siempre forma un grupo. Se cumplen las propiedades:

1)   Dadas dos aplicaciones de simetría, su composición también lo es (primero aplico una, que deja inalterado el sistema, y luego otra, que deja inalterado el sistema).

2)   Da igual como aplique tres simetrías, porque cada una irá dejando inalterado el sistema, y el resultado será el mismo.

3)   El elemento neutro es la aplicación: dejar todo como está, que es evidentemente una aplicación de simetría.

4)   Cada transformación tiene un inverso, devolviendo las cosas al estado original.

Por tanto, es un grupo.

Y con una comprobación similar se puede demostrar que las soluciones de las ecuaciones algébricas también tienen estructura de grupo. De hecho, fue gracias al estudio de las soluciones como apareció el concepto de grupo, en el s. XIX. Pero esta historia matemática, la búsqueda de las soluciones de las ecuaciones algebraicas empezó siglos antes, entorno al año 1600 a.C, con la cultura babilónica.

Los babilonios desarrollaron matemáticas muy sofisticadas, motivadas por el reparto o la distribución. Para dividir terrenos, partes de un testamento, transacciones comerciales… hacían falta números, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones… La repartición de terrenos motivó la aparición de problemas matemáticos , en los que usaban palabras para las cantidades desconocidas que tenían que calcular. Su formalización matemática no era la misma que se usa ahora para las ecuaciones, pero la idea era la misma. Las ecuaciones más sencillas son las lineales, es decir, las que la incógnita aparece solo multiplicada por números, sumada o restada (del tipo 2x + 1=0). Los babilónicos las resolvían, pero no hay documentación detallada al respecto, porque al parecer encontraban el procedimiento demasiado elemental.

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Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

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