Acabo de nacer, mis constantes vitales (centro y radio) están bien. Pero todavía no han descubierto mi constante universal, esa que regirá el mundo. ¡Qué sorpresa se van a llevar!
Me encuentro en la Grecia clásica, donde las palabras matemático y geómetra vienen a ser lo mismo. Les oigo dialogar, se encuentran maravillados por mi belleza y elegancia. Mi abrumadora sencillez les sorprende.
Sé que en poco tiempo me convertiré en uno de los conceptos geométricos más importantes. Estoy dotado de una autentica perfección en dos dimensiones. (Perdón por mi chulería).
Tengo un defecto, soy plano. Pero una gran virtud: mi radio de acción es brutal, porque todos mis puntos están a la misma distancia de mi centro.
Me dividen infinitos diámetros ansiosos por tocar mi centro.
No me confundáis con la circunferencia. Ella es parte de mí. En la lejanía, desde mi centro, diviso una curva continua que me cierra el paso, de la que no puedo salir. Es mi circunferencia.
Ehh! Están hablando de mí. Ahora los matemáticos dicen que todos los círculos son semejantes. ¿Te parece poca cosa? No todos los triángulos tienen la misma forma, ni los rectángulos, y no hablemos de las “irregularidades” de las personas … Seamos grandes o pequeños, todos tenemos la misma forma. Nuestra redondez perfecta es evidente.
Silencio! Ahora han dicho algo importante. Lo acaban de descubrir. Una verdad que perdurará en el devenir de los tiempos. Uno de los teoremas más profundos de las matemáticas: la razón de la circunferencia al diámetro es la misma para cualquier círculo. No importa el tamaño! Aquí tampoco! Aunque sea un círculo gigantesco o uno minúsculo, el tamaño relativo de la circunferencia (C) al diámetro (D) será exactamente el mismo.
¿Cómo le llamaran a esta constante?
Creo que han escogido bien. Mi constante vital se llamará Π, la decimosexta letra del alfabeto griego. Bonito símbolo, una clase de inmortalidad matemática.
Este símbolo fue adoptado por William Jones en 1706 y popularizado por el genio matemático Leonhard Euler.
Caracterización
Con el paso de los años los matemáticos me han estudiado bien. Han dejado bien claro quien soy. Me tienen fichado. Mira lo que dicen sobre mí …
Si C es la circunferencia de un círculo y D es su diámetro, siempre se cumple que:
De esta forma π suministra una conexión crítica entre 2 longitudes: la circunferencia y el radio.
Es muy importante, aunque no parece claro desde un punto de vista intuitivo, que la constante π conecta igualmente bien el área y el radio del círculo.
¿Cómo han podido conocerme tan bien?
Han tenido que aproximarme a un polígono regular (de lados y ángulos iguales).
Los polígonos son figuras más accesibles que los círculos.
En la siguiente figura puedes ver un pentágono regular inscrito en un círculo de radio r. Para determinar el área del pentágono, me trazan radios desde el centro del círculo a los cinco vértices sobre el círculo, dividiendo el pentágono en cinco triángulos.
Cada triángulo tiene de base la longitud b, el lado del pentágono, y de altura h, la línea discontinua perpendicular trazada desde el centro del círculo hasta el lado del polígono y que se llama apotema.
Conociendo el área de un triángulo, observan que:
Y por tanto:
Pronto observan que la misma fórmula es válida si se inscribe en un círculo un polígono regular de 10 ó 50 lados. Para el caso general de un polígono regular con n lados, tendremos n triangulitos. Ya que el perímetro es n veces la longitud b de cada lado.
De manera intuitiva observan que aumentando el número de lados del polígono regular, irán “rellenando” gradualmente el círculo. Y las áreas de las figuras inscritas se aproximarán al área del círculo como a un límite superior.
Área del círculo = límite del área de los polígonos regulares inscritos = límite [(1/2)h · perímetro]
No podrán alcanzarme. Por más que incrementen su número de lados, los polígonos regulares inscritos en mí, no llegarán nunca a mi exquisita redondez. Aunque la aproximación es muy buena.
¿Qué le pasa a la apotema y al perímetro cuando el número de lados de un polígono aumenta indefinidamente?
Claramente, h tendrá como límite el radio del círculo. También es fácil intuir que el límite del perímetro es igual a la longitud de la circunferncia (C).
De ahí que:
Recordando la primera ecuación donde aparecía π, la fórmula anterior se convierte en:
Puzzle Bobble
Karate Blazers
Puzzle De Bloques
Magical Cat Adventure