¡Ya lo pensaba Euclides! Mejor lo dibujamos…

Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece partes o libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría… casi nada.

Es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de mil ediciones).

El teorema 4 del Libro II enuncia: “Si se corta al arbitrio un segmento, el cuadrado de la línea entera es igual al cuadrado de las partes más el duplo del rectángulo comprendido por las partes“.

Quizás así no resulte tan familiar, pero vamos a verlo con más detalle.

Si llamamos, por ejemplo, c a la línea entera, y la cortamos en las partes a y b,

es decir si c = a + b, entonces Euclides dice que   c² = a² + b² + 2ab  (ab es lo que Euclides llama el rectángulo comprendido por las partes).

Y si c = a + b, la expresión anterior la podemos escribir como:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

¡Ahora sí! ¿verdad?

Una de las identidades notables que tanto se atragantan a muchos estudiantes. Concretamente se trata del cuadrado del binomio.

Pues sí, Euclides ya la enunció por el 300 a. C… hace ya unos añitos. Pero no sólo hizo eso, sino que dió una demostración, y gráfica, como no podía ser de otra manera.

Es la famosa demostración que aparece en los libros de texto y, por supuesto, por internet…

La primera imagen es un cuadrado de lado a + b, y en la segunda imagen se observa que ese cuadrado está formado por uno de área a², otro de área b² más dos rectángulos de área ab. Es decir, comparando las áreas de los dos cuadrados se tiene que:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

que es lo que Euclides quería demostrar.

 Pues bien, esto lo podemos llevar a su versión tridimensional, es decir, en lugar de demostrar el cuadrado del binomio, demostrar la identidad del cubo del binomio.

¿Y cuál es esa identidad?

Quizás goce de menos éxito que la del cuadrado, pero siempre viene bien conocerla, por eso de ahorrarse descomponer el cubo del binomio en el producto del binomio con el cuadrado del binomio, que es la alternativa que tenemos

(a + b)³ = (a + b)·(a + b)² = …

o multiplicar el binomio por si mismo y el resultado volverlo a multiplicar por el binomio otra vez, si tampoco nos sabemos la identidad del cuadrado del binomio

(a + b)³ = (a + b)·(a + b)·(a + b) = …

vamos, que nos podemos ahorrar unas cuantas operaciones si la conocemos.

Dicha identidad dice que:

(a + b)³ = a³ + 3ab² + 3a²b+ b³

Pero vamos a lo que realmente me gusta, que es la demostración gráfica, al más puro “estilo Euclides”.

Para ello, como se observa en las siguientes imágenes, lo que hacemos es descomponer el cubo inicial de lado a + b en otros cubos y prismas y comparar volúmenes.

siendo cada uno de los prismas y cubos:

y, por lo tanto, comparando volúmenes:

(a + b)³ = a³ + 3ab² + 3a²b+ b³

que es lo que se quería demostrar.

Yo no sé a vosotros, pero a mi me encantan las demostraciones gráficas, y quizás, acordándonos de la imagen de la descomposición del cubo recordemos mejor la expresión de la identidad del cubo del binomio, o al menos lo sabremos interpretar geométricamente y entenderemos qué demonios estamos haciendo… cosa buena en matemáticas.

Esta entrada participa en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Matifutbol