LA RAIZ CUBICA DE DOS CON REGLA Y COMPAS
Conocemos que el problema de la duplicidad del cubo está en no determinar la raíz cubica de dos con regle y compás. Esto queda resuelto con el método siguiente.
Partimos de la premisa lógica:
√2 > (√2)^{1/3} y, por lo tanto diremos que
√2 - x = (√2)^{1/3}
la magnitud de √2 es conocida con regla y compás con lo cual, lo único que necesitamos es definir la magnitud de x con regla y compas.
Tomamos como punto de partida dos únicos valores: la [√2, 1].
Con ellos y el compás haremos operaciones de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones ( el compás solo admite multiplicación y división en 2^{n} y 3^{n} ó producto de ambos). En base a esto el (lm(x)) se determina en la forma:
x = [8 √2 - 11]/2 - [17 - 12√2]/12*3^{n} ; n = (2,3.....∞)
por lo tanto
(√2 )^{1/3} = √2 - [(8√2 - 11) /2 - (17 - 12 √2) /12*3^{n}]
con n = 2 tenemos
((√2)^{1/3})^{3} = [√2 - [(8 √ 2 - 11) /2 - (17 - 12 √2) / 12*3^{n}]]^{3} = 2,000535782....
Cuanto mayor sea n mayor es el número de ceros.
De esta manera el calculo de x pasa a ser infinitesimal. Ahora bien el compás define la magnitud (lm(x)) en el instante, que el punto de apoyo del compás y la punta de trazo son convergentes.