Aproximando logaritmos

Vía Literatura y Matemáticas

Uno de los aspectos que más cuesta a los estudiantes de secundaria es el de los logaritmos. El logaritmo (en base ) de un número (que se representa por ), es el número al que hay que elevar la base para que dé , es decir, .
Pero tal y como pasa con la exponenciación, la base más natural para los logaritmos es el número (del que tantas veces hemos hablado en este blog), en cuyo caso se llama logaritmo natural ó logaritmo neperiano y se denota por . Sin embargo, en los institutos se suele enseñar este concepto a través del logaritmo en base 10 o logaritmo decimal, y que suele denotarse simplemente por . Pero dada la importancia que el binario tiene en nuestra sociedad de la información, resulta que los logaritmos en base 2 () resultan ser también muy utilizados.
En este pequeño artículo, nos hacemos eco de una fórmula de aproximación en la que intervienen estos 3 logaritmos (quizás los más usados) y que aparece (según la fuente consultada, The Endeavour) en el libro de Donald Knuth (sí, el del ) The Art of Computer Programming.
Sin más dilación os presento la fórmula de aproximación en la que se ven involucrados estos tres logaritmos:

A ver, que para calcular el logaritmo en base 2, basta calcular el neperiano y el decimal y sumarlos. Bueno, basta no. El resultado se parecerá al logaritmo binario, pero en principio, no debe coincidir.
Claro, aquí viene la pregunta de cualquier persona con un mínimo de interés: ¿Cual es el error relativo cometido?.
Pues muy sencillo. Si esa fórmula de aproximación es cierta, al dividir ambos miembros entre tendremos que   Y podemos decir que esta fórmula ya es, de alguna manera, adimensional. Por lo que el error relativo cometido será:
Bien, ahora sólo falta establecer cuánto vale este error. Y para ello vamos a necesitar una propiedad de los logaritmos y que me permite escribir cualquiera de ellos como cociente de logaritmos neperianos.
Sabemos que  . Pero claro, también es cierto que , y como , se deduce que , o lo que es lo mismo, . Pero como , basta despejar para obtener la fórmula siguiente:
Pues bien, aplicando esta sencilla fórmula a nuestro error relativo se tiene que:
Lo que hace que el error relativo sea del , un error bastante pequeño.
Así, podríamos decir que [\log_2(10)\approx1+\ln10\approx3'30259]; mientras que el valor real (aproximado con 5 decimales) es .
En fin, una curiosidad que me ha permitido hablar de logaritmos y de algunas de sus propiedades. Espero que os haya entretenido.
Tito Eliatron Dixit 
 
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