Átomos y nudos, o como hacer un perfecto nudo de corbata Kelvin

Hace unos días hablábamos en Matemáticas y sus fronteras sobre la importancia de los nudos en la Biología, en particular en el plegamiento de proteínas y del ADN. Vamos ahora a comentar algunas cuestiones relativas a estos apasionantes objetos matemáticos.

Un nudo es una manera de encajar un círculo en el espacio euclidiano de tres dimensiones, de manera que este se cruzará consigo mismo de una manera más o menos compleja, pero siempre sin tocarse. La historia de los nudos es muy antigua, y se han encontrado evidencias de épocas remotas, como por ejemplo en China, en el Tíbet o en los pueblos celtas. En estos últimos es muy famoso el Libro de Kells, que los monjes irlandeses elaboraron en torno al año 800 en la abadía de Kells, y que contiene numerosas ilustraciones, entre ellas, de nudos.

Nudos célticos

La primera teoría matemática rigurosa sobre los nudos es del matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde, en 1771. Vandermonde señaló como la incipiente topología era decisiva para entender los nudos. La manera de describir un nudo es con unos diagramas que se conocen como diagramas de nudos. Consisten en la proyección del nudo en un plano, de manera que se señalan los cruces cuando la “cuerda” que ha formado el nudo pasa por delante o por detrás en el nudo. En su obra pionera de la topología, Remarques sur des problèmes de situation, decía

“Cualesquiera que sean los giros y las vueltas de los hilos en el espacio, uno siempre puede obtener una expresión para el cálculo de sus dimensiones, si bien tal expresión será de escasa utilidad en la práctica. Los artesanos que construyen una red, una trenza o algunos nudos estarán más preocupados no por asuntos de medida, sino de posición: lo que le importará será el modo en que los hilos se entrelazan.”

En el siglo XIX, el llamado Príncipe de las Matemáticas, Carl Friedrich Gauss, se interesó por el tema. Gauss definió lo que se llama el índice de enlace, que es un invariante numérico que nos dice cuantas veces una curva está enrollada en la otra formando un nudo. Se puede calcular mediante un algoritmo, de manera que se cuentan los cruzamientos según las reglas de esta imagen

Una vez contados los cruzamientos con sus signos, se calcula el número de enlaces N con la fórmula

N = (n₁ + n₂– n₃ – n₄)/2

Pero como n₁ + n₃ = n₂+ n_4,la fórmula se reduce a N = n₁ – n₄ = n₂– n₃.

Otro importante avance en la teoría de nudos vino de la química, motivada por las ideas de Lord Kelvin (Sir William Thomson) sobre la configuración como nudos de los átomos en aquella sustancia que se denominaba éter y que se teorizaba como el soporte para las ondas electromagnéticas y la luz. Por cierto, Lord Kelvin ganó fama con esta teoría, y un nudo de corbata se llama así en su honor. Aquí se pueden seguir las instrucciones para conseguir un perfecto nudo Kelvin

Lord Kelvin se había inspirado en los experimentos del físico escocés Peter Tait sobre los nudos de humo; pensaba que los átomos de los diferentes elementos químicos formaban nudos con sus enlaces; el hidrógeo se correspondería con un tipo de nodo, el oxígeno con otro, y así con los demás elementos. Thomson y Tait estaban convencidos de que esta teoría serviría para explicar por qué los átomos emiten y absorben luz en determinadas longitudes de ondas, así que Tait se puso a hacer una tabla de nudos que se correspondería con la tabla de elementos químicos.

Peter Guthrie Tait

James Clerk Maxwell, que era colega de ambos, también se interesó por los nudos, y volvió a las ideas de Gauss, describiendo el número de eenlace en términos de la teoría electromagnética. Según Maxwell, ese número coincidía con el rabajo de una partícula cargada que se moviera a lo largo de una componente del nudo bajo la influencia del campo magnético generado por una corriente eléctrica que circulara por la otra componente del nudo.

El experimento de Michelson–Morley acabó con la teoría del éter, y esto llevó a un desinterés de la ciencia por el estudio de la teoría de nudos. Pero los matemáticos no habían dicho la última palabra, como veremos en próximas entradas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).