Como administradores tenemos cuentas de correo que se utilizan para enviar notificaciones, estas con el tiempo se van a llenar, si vas bandeja por bandeja te vas a llevar una eternidad (si ya lo hiciste sabes de lo que hablo) pero hay otra alternativa a parte de borrar la cuenta y volverla a crear.
Debes entrar a la cuenta que vas a limpiar vía Outlook Web Access, en la esquina superior derecha ve a "Configuración" y luego ve al final a "Ver toda la configuración de Outlook".
En la ventana que se abrirá ve a "General / Almacenamiento" y haz clic en el icono de la papelera o limpiar a la par de la bandeja que vas a limpiar.
Este proceso va a tardar un buen tiempo dependiendo de la cantidad de información que tenga pero no requiere intervención tuya una vez inicia.