¿Cuánto vale la parte entera de -1'65?

Una de las funciones que más quebraderos de cabeza traen a estudiantes de matemáticas de (casi) todos los niveles es la función Parte Entera. Esta función está definida sobre todos los números reales y nos devuelve siempre un número entero, pero ¿qué número nos devuelve? Vamos a tratar de definirla correctamente y a ver por qué esta definición y no la que todos piensan: ¿Por que la parte entera de es ?

En primer lugar... ¿cómo se define la parte entera de un número, desde el punto de vista matemático? Pues de la siguiente forma.
En primer lugar, vamos a dibujar la recta real, con todos sus números naturales (bueno, los que nos caben en el dibujo).

Seguidamente, vamos a dividir la recta en una cantidad infinita de intervalos disjuntos (que no se cortan entre sí):

Lo que hemos hecho es poner
Y ahora ya está. Si tomamos cualquier número real resulta que estará en un único intervalo de la forma donde es un número entero. Pues bien, precisamente ese número entero es lo que se denomina Parte Entera de y se denota por o bien .
En resumen, la parte entera de un número real es el mayor número entero que es menor o igual que .
Y entonces... ¿dónde está el problema? Pues el problema está en que en los números positivos es extremadamente fácil calcular la parte entera (y de hecho, de ahí viene el nombre de parte entera). sI es un número real, su parte entera consiste en quitar los decimales del número. Es decir, la parte entera de es ; la parte entera de es ; y así con todos.
Ya vale, pero... ¿dónde está el problema? Pues que en los números negativos esta regla no funciona, lo que suele provocar muchos errores.
Todo esto está muy bien, pero... ¿cuánto vale la parte entera de ? Vamos a calcularlo.
Para ello, tenemos que ver en qué intervalo de la forma (con entero) está incluido este número. Si la parte entera fuese quitar los decimales, debería ser y el intervalo sería el . Pero es evidente que . Por lo tanto . ¿Cual es, entonces su parte entera? pues vamos a ver poner el número en la recta y veamos en qué intervalo cae:

Pues está claro. Como resulta que su parte entera es . Así que para los números negativos la regla no es tan sencilla como parece. En ellos hay que quitar los decimales y restar 1.
Definida de esta forma, la representación gráfica de esta función es la de una escalera cuyos peldaños tienen una anchura de 1 unidad y entre peldaño y peldaño la altura es también 1 unidad.
 
 ¿Qué pasaría si definimos una función Parte Entera Alternativa que consista en quitar los decimales a cualquier número? Pues que la representación gráfica sería algo diferente:

El peldaño central, el que contiene al origen de coordenadas, sería el doble de ancho que los demás, haciendo, de esta forma, que la nueva función posea una simetría impar.Por ceirto, esta nueva función  es la que el programa Mathematica y Wolfram Alpha ejecuta con la orden IntegerPart.
Finalmente, sólo me resta decir que lo que nosotros (o yo, en concreto)  hemos definido como Parte Entera, también se suele denotar por Función Suelo. En cualquier caso, a mi me parece más natural esta definición.
Tito Eliatron Dixit
Este post participa en la  Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Gaussianos. 
 
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