Esta entrada va sobre el razonamiento matemático y su relación con muchas otras cosas y cómo nos afectan (a los que somos racionales) en el día a día. Pretendo ahora iniciar una serie sobre el razonamiento matemático y así generar varias preguntas para mis lectores.
Si tu profesor de matemáticas te pidiera demostrar que “todo número perfecto es par”, lo más seguro es que le preguntarías qué demonios es un “número perfecto”. Las definiciones son tremendamente importantes en las matemáticas—nos dan precisión. También son subjetivas, elegidas por seres humanos. La matemática es profunda e intrínseca; las definiciones son nuestros inventos para facilitar la discusión sobre las matemáticas.
Decidir sobre una definición es también difícil. Es un reto escribir con precisión qué es algo, y al hacerlo excluir las cosas que NO es, para que sea fácil de aplicar. Un ejemplo que siempre utilizo para mis alumnos es el de un “sándwich”. Ahora mismo, para de leer. Trata de formular en tu cuaderno una definición de sándwich.
¿Ya la tienes? Bien. ¿Has incluido el pan en tu definición? ¿Y la carne? ¿Queso? ¿Verduras? ¿Tu sándwich requiere una cantidad exacta de cada cosa? Si exiges carne entre dos pedazos de pan, entonces estás excluyendo los sándwiches vegetarianos y el queso fundido solo, pero entonces en tu definición se puede incluir un perrito caliente. ¿Eso te parece correcto para llamarlo sándwich? ¿Y qué cuenta como pan para ti? ¿Hay carbohidratos? ¿Es una quesadilla un sándwich? Tendrías que cuidadosamente definir cada término si quieres utilizarlo para el sándwich.
¿El pan debe estar encima o por debajo? ¿No incluyes los sándwiches de cara abierta? Si dices sí, ¿entonces la pizza no es un sándwich? ¿O la tostada con mantequilla o mermelada? La flexibilidad con respecto a la definición del plan también es importante, pero si eres demasiado flexible entonces en tu definición entrarían burritos mejicanos (sí, con j, lo siento modernillos), o incluso podría entrar un “wrap”-rollito de pan en tu definición de sándwich. ¿Es un taco un sándwich? ¿Y la dulzura? ¿Un sándwich puede ser dulce? Si dices sí, entonces, ¿es una galleta con relleno un sándwich? Como ya puedes ver, a veces es muy difícil acertar correctamente en una definición.
De hecho, cuando consideras la frase “todo número perfecto es par”, es importante que sepas la definición de un número perfecto; de hecho, sería buena idea preguntar también qué es un número par. La mayoría ya sabéis que los números pares son 2,4,6,8,… y son pares y positivos, pero potencialmente hay múltiples otras maneras de definir esos números, y todos deberíamos estar de acuerdo sobre la definición para poder trabajar adecuadamente. Por eso yo siempre digo que a mí eso del “consenso” no me interesa ni tampoco la crispación innecesaria de parlamento barato. Me gusta la UNANIMIDAD, el ACUERDO, el pensamiento exactamente igual como punto de partida. Para provocar más, diré que la palabra “totalitario” no siempre es mala. Ser totalitario en las definiciones es muy importante si se quiere ser no solamente matemático de calidad sino también ser realmente libre. Parte de la esclavitud del mundo postmoderno es eso de “no hay verdades absolutas, no hay ideas fijas”…a pesar de que en la práctica, hasta para ellos sí hay cosas absolutas. Atrévete a decir algo considerado “machista” o “racista” en la calle y a ver cuanto duras con tu puesto de trabajo y tu reputación social.
A mí no me vale que seas “flexible” si estás equivocado. No me interesa el error más allá de para corregirlo y que rectifiques. Me interesa, ya lo he dicho, el acuerdo, la unanimidad, el rigor en las definiciones. Tú no vas a venir a esta página web para atacarme gratuitamente y esperar que no se te de una respuesta contundente. Aprovecho, pues, ahora para decir que a partir de este momento, los que vengan a “trolear” no serán censurados (porque aquí jamás ha habido censura en más de una década que llevamos operando con éxito), pero sí se enviarán esos comentarios al cubo de la basura que pondré para que todos vean en el blog si eres un troll con comentarios basura.
Bien. En unos momentos voy a definir qué son los números pares e impares. Antes que nada, recuerda que el conjunto de números enteros es {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} y el siguiente hecho: Estoy suponiendo que los lectores conocen los números enteros y sus propiedades básicas. También utilizaré los principios aritméticos más básicos. Algunos ejemplos: si a y b son números reales, entonces a + b = b + a y ab = ba. Y, si c es también un número real, entonces (a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc) y a(b + c) = ab + ac y abac = ab+c. Pero como verás, estaremos suponiendo casi nada más—lo demás lo demostrarás tú o yo.
Empecemos con un hecho:
La suma de números enteros es un número entero, la diferencia de números enteros es un número entero y el producto de números enteros es un número entero. Además, todo número entero es positivo o negativo.
En realidad, esto es un hecho y también se puede demostrar, pero no quiero liarla mucho aquí. Digamos que es el axioma desde el que parto. Los axiomas se suponen verdades y de ahí construyes una teoría.
Ahora vamos a las definiciones:
Un número entero es par si n = 2k para un número entero k
Un número entero es impar si n = 2k + 1 para un número entero k
Las definiciones matemáticas son precisas. Si cambias algo pequeño en un sándwich, quizá todavía le puedas llamar sándwich. No ocurre lo mismo en las matemáticas. Si k es un número entero y n = 2k + 1, entonces n es impar. Sin embargo, si k es un número entero y n = 2k + 1.000001, entonces n YA NO ES impar. Se trazan líneas divisorias muy rigurosas en las matemáticas. Es parecido a la discusión que hemos estado teniendo aquí. Para mí, español es quien nace dentro o fuera del territorio español, pero cuyos ancestros son españoles de origen. ¿Y cómo definir a un español de origen? Pues un español que pueda contar entre sus ancestros a generaciones pasadas de españoles, algo fácilmente detectable en una prueba de ADN. NO es español de origen el nacido en España cuyos padres sean africanos, por ejemplo (salvo si viene de una colonia española, como fue Guinea y eso ya fue previamente decidido por los españoles). Tampoco es español DE ORIGEN un chino que se nacionalice español. Puede ser español por residencia, pero, ¿de origen? ¿Tú qué fumas?
De acuerdo. Volvamos a unos ejemplos antes de llegar a la demostración.
6 es par porque 6 = 2 * 3 y 3 es un número entero
9 es impar porque 9 = 2 * 4 + 1, y 4 es un número entero
0 es par porque 0 = 2 * 0 y 0 es un número entero
-15 es impar porque -15 = 2 * (-8) + 1, y -8 es un número entero
Sin una definición, alguien podría preguntarse si el cero o los números enteros negativos deberían contar como impar o par. Lo maravilloso que tienen las definiciones es que no hay AMBIGÜEDADES. O satisfaces la definición O NO la satisfaces. ¡Nadie está por encima de la ley! ¡Ningún número se libra de las leyes de la lógica, como tampoco ningún ser humano! (Por mucho que lo intenten algunos). Ya que el cero y los números enteros negativos satisfacen la definición, pueden contar como par o impar. Ahora demuestro algunos resultados utilizando la definición previa.
Proposición: La suma de dos números pares es par.
Demostración: Si n y m son números enteros pares, entonces siguiendo la definición previa, esto significa que n = 2a y m = 2b, para números enteros a y b. Entonces:
n + m = 2a + 2b = 2(a + b).
También habíamos dicho que a + b es un número entero, así que hemos demostrado que n + m = 2k donde k = a + b es un número entero. En consecuencia de la definición, entonces n + m es par.
¡Qué goce!
Ahora para ti.
Proposición: Si n es un número entero, entonces n2 + n + 6 es par. Demuéstralo.
En la próxima entrada, hablaré sobre el algoritmo de la división (y cómo se enseñaba en las matemáticas de BUP y COU cuando en España existía una educación matemática de calidad, antes de su “europeización”).