(Esta entrada participa en la Edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cuentos Cuánticos.)
PRIMERA PARTE
El propietario del equipo, Evangelos, llama a su amigo Sotiris, director del periódico Protathlitis, para darle la primicia:
- Sotiris, vamos a fichar a un nuevo jugador. Se trata de un fenomenal delantero italiano que milita en la serie B italiana. Apenas si le conoce nadie, pero es muy bueno, y además nos sale muy barato. Su nombre es Leonardo, ‘Leo’ para los amigos.
- No, por favor. Dentro de 30 minutos daremos una rueda de prensa para anunciar el nuevo fichaje, y no quiero que mucha gente lo sepa por anticipado.
- Entonces, ¿no se lo puedo decir a nadie? Déjame que se lo comunique a mis mejores amigos por SMS. Te prometo que no lo difundiré de forma masiva.
- Vale. Te permito que lo difundas, pero con la siguiente condición: no podrás realizar envíos masivos. Sólo podrás enviar mensajes de uno en uno. Y esta misma regla se la harás llegar a las personas a las que les envíes el mensaje, y deberán cumplirla igual que tú.
- De acuerdo, Evangelos, así lo haré. Pero no me has dicho el apellido del jugador...
- El apellido lo averiguarás si analizas las reglas que te he dado para difundir el mensaje.
Tras colgar el teléfono, Sotiris, director del diario Protathlitis, envía el primer mensaje, a su redactor jefe, para que esté preparado para lanzar la noticia en cuanto se produzca la rueda de prensa, en estos términos:
Tras enviar el mensaje al redactor jefe, el director envía un nuevo SMS, esta vez a un amigo suyo, aficionado del Olympiacos. Y continúa de igual forma durante los 30 minutos anteriores a la rueda de prensa.
De la misma forma, el redactor jefe, una vez leído el mensaje, lo reenvía al jefe de maquetación, para que vaya preparando los titulares. Y en los siguientes minutos, se dedica a reenviar el mensaje, siempre de forma individual.
Y así sigue ocurriendo con el resto de receptores del mensaje.
Sabemos que el envío de mensajes SMS es instantáneo, que todo el mundo tarda aproximadamente 1 minuto en leer el mensaje, y 1 minuto más en decidir a quién se lo va reenviar. Y además, sabemos que ninguna de las personas a las que les ha llegado el mensaje lo han recibido de dos emisores distintos.
Con estos datos, y pasados los 30 minutos, ¿crees que mucha gente conocerá la noticia antes del inicio de la rueda de prensa? ¿100 personas? ¿500? ¿1.000? Y, lo más importante, ¿te imaginas cuál es el apellido del futbolista italiano?
SEGUNDA PARTE
Pues no sé muy bien por dónde empezar con este problema...
Entonces, lo mejor es empezar por el principio :-)
Al momento en que el presidente del Olympiacos llama al director del periódico (P1 = persona 1) le vamos a llamar 'minuto 0'. Aún no hay nadie que sepa lo del fichaje del delantero, esto es, 0 personas conocen la noticia (salvo los miembros del consejo de administración del club, claro).
Durante el primer minuto, tiene lugar la conversación entre ambos, por lo que, terminado el primer minuto, ya hay 1 persona que sabe la noticia.
A lo largo del segundo minuto, el director decide que la primera persona a la que se lo contará será a su redactor jefe (P2 = Persona 2). Escribe el mensaje SMS y se lo envía. Así que, cuando han transcurrido dos minutos, sigue habiendo sólo 1 persona que conoce la noticia.
Ahora vamos a ver lo que ocurre en el siguiente minuto. El director decide enviar un nuevo mensaje, esta vez a su amigo aficionado al Olympiacos (P3). Mientras tanto, el redactor jefe ha leído el mensaje que le ha enviado el director del periódico. Ahora ya son 2 las personas que saben lo del fichaje, y hay una persona más a la que le ha llegado el mensaje, pero aún no lo ha leído.
Durante el cuarto minuto, el director envía un nuevo mensaje, esta vez a otro amigo (P4). El redactor jefe, una vez leído el mensaje, lo ha reenviado al jefe de maquetación (P5). Y el amigo del director, aficionado del Olympiacos, ha recibido el mensaje y ya lo ha leído. Ahora son 3 las personas enteradas del fichaje, y 2 a las que les ha llegado el mensaje, pero que aún no lo han leído.
En el quinto minuto, el director vuelve a enviar un mensaje, esta vez a otro amigo (P6). El redactor jefe hace lo propio con un amigo suyo (P7). El fan del Olympiacos envía su primer mensaje, a P8. Mientras tanto, P4 y P5 ya han leído su mensaje. De esta forma, ya tenemos a 5 personas enteradas del asunto.
En el sexto minuto, ocurre lo siguiente: el director, el redactor jefe y el aficionado del Olympiacos envían un nuevo mensaje (a P9, P10 y P11), P4 y P5 envían sus primeros mensajes (a P12 y P13), y P6, P7 y P8 leen el mensaje. Ya son 8 las personas que conocen lo del fichaje.
En el minuto siete, las cinco primeras personas envían un nuevo mensaje. Las tres siguientes realizan su primer envío. Y las cinco restantes acaban de leer el mensaje recibido. Ahora son 13 las personas que conocen el asunto. Y ocho más las que van a recibir el mensaje en breve.
Podríamos seguir así hasta el minuto 30, pero con lo que ya hemos visto tenemos suficientes pistas para averiguar qué es lo que está pasando.
¿Sí? Pues yo no acabo de comprender qué es lo que sucede... Además, a este ritmo, no creo que antes de la rueda de prensa haya muchas personas enteradas del tema.
Espera un momento. Vamos a fijarnos en el número de personas que conocen, al final de cada minuto, el nombre del nuevo fichaje:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
No veo qué relación tienen entre sí estos números...
Bien, inténtalo de la siguiente manera: coge los 2 primeros números, súmalos y dime el resultado.
0 + 1 = 1
Hemos obtenido el tercer número de la serie. Ahora coge el segundo y el tercer número, y vuélvelos a sumar.
1 + 1 = 2
¿Hacemos lo mismo con el tercero y el cuarto?
Sí, por favor.
1 + 2 = 3
Ya veo cómo funciona. Cada número se obtiene sumando los dos anteriores, ¿verdad?
Así es. En términos matemáticos lo definiríamos así:
F(n) = F(n-1) + F(n-2); F(0) = 0; F(1) = 1
De esta forma, vamos a ir generando los siguientes números, hasta llegar al número 30 de la sucesión, que será el que nos indica la cantidad de personas que conocían la noticia antes de que se diera la rueda de prensa.
Vamos a escribir los números de la sucesión, que nos indicarán las personas que conocen la noticia, y entre paréntesis el minuto correspondiente:
0 (0), 1 (1), 1 (2), 2 (3), 3 (4), 5 (5), 8 (6), 13 (7), 21 (8), 34 (9), 55 (10), 89 (11), 144 (12), 233 (13), 377 (14), 610 (15), 987 (16), 1.597 (17), 2.584 (18), 4.181 (19), 6.765 (20), 10.946 (21), 17.711 (22), 28.657 (23), 46.368 (24), 75.025 (25), 121.393 (26), 196.418 (27), 317.811 (28), 514.229 (29), 832.040 (30)
¡Casi un millón de personas, en solo 30 minutos, y sin realizar mensajes masivos!
Efectivamente, esta sucesión al principio parece que avanza muy lentamente (en los primeros 10 minutos sólo lo saben 55 personas), pero luego tiene un comportamiento exponencial.
De hecho, si seguimos con la sucesión, y suponiendo que todos los habitantes del planeta tienen móvil y cobertura, la noticia llegaría a todo el mundo en tan sólo 49 minutos.
Pero si hay varias personas que envían el mensaje a la misma persona, esto ya no se cumpliría.
Efectivamente, por eso al principio de la historia dijimos que sabíamos que ninguna de las personas que han recibido el mensaje lo han recibido de dos emisores distintos. Así evitamos que varias personas le envíen el mensaje al mismo receptor. Esto no ocurre en la vida real, por lo que las cifras serían algo inferiores a las calculadas en la teoría.
Además, debemos tener en cuenta otro detalle. No todas las personas tienen por qué estar conectadas entre sí. Puede haber ‘islas’ de personas, a las que jamás les llegaría el mensaje. Imagina, por ejemplo, que todas las personas griegas sólo tuviesen como contactos en sus teléfonos a otras personas griegas, pero a nadie de otro país. ¡El mensaje no saldría de Grecia! O piensa que los habitantes de Oslo estuviesen todos conectados entre sí, pero no tuviesen contactos con personas que no fuesen de la capital. El mensaje se difundiría por todo el mundo, excepto por Oslo.
Y, ¿cuál puede ser el apellido?
Pues verás. Esta sucesión que hemos visto en la que cada número se obtiene sumando los dos anteriores se llama sucesión de Fibonacci. Fibonacci fue un matemático de los siglos XII-XIII, conocido sobre todo porque introdujo los números arábigos en Europa, y que, entre otros trabajos, atrajo la atención sobre esta sucesión a raíz de un problema sobre la reproducción de los conejos. Si bien esta sucesión ya era conocida por matemáticos hindúes unos siglos antes.
Entonces, el delantero se llama Leonardo Fibonacci, ¿no?
En realidad su nombre no era Fibonacci. Fi-Bonacci (filius Bonacci) quiere decir ‘hijo de Bonacci’, que era cómo se conocía a su padre, un comerciante italiano. Su verdadero nombre era Leonardo Pisano (Leonardo de Pisa).
Y casualmente hay un delantero italiano que se llama así: Leonardo Pisano. Así que, ¡ya tenemos el nombre completo del fichaje!
Pues yo no había oído hablar nunca de Fibonacci ni de esta serie de números.
Es raro, porque se trata de una sucesión que aparece en los sitios más insospechados, lo cual lleva a que muchísimos matemáticos y profanos se dediquen a investigar sus características y aplicaciones.
Entre sus propiedades, que darían para llenar una enciclopedia entera, hay algunas realmente curiosas.
Por ejemplo, el cuadrado de cada número de la serie es igual al producto de los dos números adyacentes, sumando o restando 1 (la diferencia va alternando en positiva-negativa-positiva-negativa-...)
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711...
1442 = 20.736 89 x 233 = 20.737 = 1442 + 1
2332 = 54.289 144 x 377 = 54.288 = 2332 - 1
3772 = 142.129 233 x 610 = 142.130 = 3772 + 1
Además, si cogemos 4 números de Fibonacci consecutivos ABCD, tenemos que la diferencia de los cuadrados de los dos números centrales es igual al producto de los dos extremos
C2-B2=AxD.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711...
552-342 = 1.869 = 21 x 89
25842-15972 = 4.126.647 = 987 x 4181
Si, en vez de 4 números consecutivos, cogemos 10 números y los sumamos, veremos que la suma es igual al séptimo número de los 10, multiplicado por 11.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711...
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765 = 17.567 = 1.597 x 11
Si nos fijamos en las últimas cifras de los números de Fibonacci, vemos que se repiten cada 60 números. Si nos fijamos en las 2 últimas, se repiten cada 300 números. Las tres últimas se repiten cada 1.500 números. Y así sucesivamente.
Si prescindimos del 0 inicial de la serie, el tercer número es 2, y a partir de él cada tres números nos encontramos con un múltiplo de 2. El cuarto número es 3, y a partir de él cada 4 números tenemos un múltiplo de 3. El quinto número es 5, y cada 5 números nos encontramos con un múltiplo de 5. El sexto número es el 8, y cada 6 números tendremos un múltiplo de 8. Y así sucesivamente.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711...
La suma de los todos los números hasta uno dado es igual al número que ocupa dos posiciones más adelante, restándole 1.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711..
0+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89 = 232 = 233-1
Y si dividimos cada número por el inmediatamente anterior, vemos que conforme vamos avanzando en la sucesión, el resultado de esta división se va acercando cada vez más al valor de la razón áurea, razón dorada, número de oro, o Phi (φ).
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711...
1/1=1 2/1=2 3/2=1,5 5/3=1,666... 8/5=1,6 13/8=1,625 21/13=1,615... 34/21=1,619 55/34=1,617...
φ = 1,61803398874989484820458683...
Esto de la razón áurea me suena muchísimo. ¿Se utiliza mucho en arte, ¿no?
Sí. Muchos artistas emplean esta proporción en sus obras de arte. Así, tenemos el hombre de Vitrubio, en el que otro Leonardo, esta vez da Vinci, dibuja al hombre a partir de rectángulos formados con la proporción áurea. Lo mismo ocurre con la Mona Lisa, o con el cuadro de la Última Cena. Y los pintores Miguel Ángel y Durero también la aplicaron de forma habitual en sus obras.
Así que desde el Renacimiento ya se viene utilizando esta proporción...
Qué va, ya era conocida mucho tiempo antes. Así, la encontramos en el Partenón ateniense (s. V a.C), cuando analizamos la relación entre las partes, el techo y las columnas, por ejemplo. Y las civilizaciones asiria y babilonia también la utilizaban.
O sea, que también se aplica a otras artes distintas de la pintura.
Sí, además de la pintura y la escultura, también podemos observar la proporción áurea en la estructura formal de múltiples obras de música clásica de Mozart, Beethoven, Schubert, Béla Bartók y Debussy. E incluso en la fabricación de los violines.
Ya veo que esta sucesión tiene múltiples aplicaciones matemáticas y artísticas.
Y no queda ahí la cosa. Podemos encontrar más aplicaciones en otros ámbitos, realmente sorprendentes.
En la naturaleza, podemos ver cómo esta serie aparece en la disposición en espiral de las semillas de girasol. Así, hay flores de girasol que presentan 21 espirales que van en un sentido y 34 que van en el otro. Y otras tienen 55 y 89, o hasta 89 y 144, pero siempre se trata de números consecutivos de Fibonacci.
¡Qué disposición tan extraña!
Bueno, resulta que es la forma en que se aprovecha mejor el espacio circular de la flor, para que quepan el mayor número posible de semillas. También en las piñas piñoneras encontramos espirales que se cruzan, y la proporción entre el número de unas y otras se corresponde con valores de la secuencia de Fibonacci: 5 y 8, u 8 y 13. Y las margaritas agrupan sus semillas en 21 espirales en un sentido y 34 en el otro, mientras que suelen tener 12, 21, 34, 55 u 89 pétalos.
Así que el mundo vegetal está lleno de sucesiones de Fibonacci...
Y también el mundo animal. Sin ir más lejos, en el ser humano, las proporciones entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos, la altura de la cadera y la altura de la rodilla, las articulaciones de las manos y los pies, o la altura del ser humano y la altura de su ombligo, entre otras relaciones, están determinadas por la proporción áurea, tan íntimamente ligada a los números de Fibonacci.
En el mundo de las abejas, encontramos a estos números cuando contamos el número de rutas posibles que puede recorrer una abeja por las celdillas hexagonales de un panal.
También encontramos este patrón en la forma de multiplicación de las liebres o los conejos (que fue el punto de partida a través del cual Fibonacci descubrió esta serie), así como de otros animales. Y la molécula de ADN mide 34 armstrong de largo por 21 armstrong de ancho.
Pues ya solo nos queda encontrar estos números en el mundo marino...
Efectivamente. Y para ello, nada mejor que fijarnos en la concha del Nautilus.
En ella, cada circunvolución completa está a una distancia respecto del centro 1,618 (φ) veces superior a la de la vuelta anterior. Esta espiral que se forma, llamada espiral áurea (o espiral de Durero), se puede construir de forma aproximada gracias a los números de la sucesión de Fibonacci. Y la podemos encontrar en muchos animales como en las conchas de los caracoles o en los cuernos de los rumiantes, e incluso en la forma de algunas galaxias.
En la Bolsa, cuando un determinado valor ha estado subiendo o bajando de forma prolongada, y cambia su tendencia, el límite de la variación o corrección estimada de su valor tiende a corresponder al inverso del número de oro 1/φ= 61,8%. Y los números de Fibonacci son ampliamente utilizados para identificar cambios en las tendencias de mercado, fijando períodos de tiempo de 5, 8, 13 y 21 años en las gráficas de los índices o valores.
Ya solo nos queda encontrar alguna aplicación de estos números en el mundo del fútbol...
Consiste en lo siguiente: el jugador irá realizando apuestas cuyo volumen viene determinado por los números de la sucesión de Fibonacci. Si pierde una apuesta, debe seguir apostando usando como cantidad el siguiente número de la sucesión. Y si gana, deberá retroceder 2 números en la sucesión, y apostar esa cantidad.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269...
Se trata de un sistema muy bueno para apostar a favor de favorito, ya que es muy difícil que así se pierda más de 5 veces de forma consecutiva. La principal pega es que el ritmo de crecimiento de las posibles ganancias es un poco lento, y ello deriva en tener que invertir más tiempo para conseguir unos beneficios notables, pero a cambio las pérdidas se minimizan.
Y estos números de Fibonacci no tendrán nada que ver con los fractales, ¿no?
Pues sí. ¿Recuerdas las tablas que hemos ido confeccionando para ver la evolución de las personas que conocían la noticia según pasaban los minutos? Pues bien, podíamos haber estudiado la evolución de la difusión de la noticia de una forma más gráfica.
Vamos a asignar un circulito a cada persona que participa en la comunicación. Lo dejaremos sin rellenar cuando aún no conoce la noticia porque no la ha leído todavía, y lo pintaremos de verde cuando haya pasado un minuto tras haber recibido la noticia, porque asumimos que ya la ha leído.
Dibujaremos una flecha azul entre dos círculos para indicar que una persona le está enviando un mensaje a otra. Pintaremos una línea amarilla para mostrar que la persona está leyendo el mensaje, y una línea roja para indicar que la persona está pensando a quién reenviar el mensaje.
Y ahora mira cómo queda nuestro esquema:
Está claro que la disposición del mismo es un fractal: el ‘árbol’ principal (o, mejor dicho, la raíz principal) se repite para cualquiera de las personas que escojas.
Pues es verdad. Sólo una pregunta más. Para ir obteniendo los términos de la sucesión de Fibonacci, hemos ido sumando los dos anteriores. Pero, ¿no habría alguna fórmula para calcular un término concreto de la sucesión, por ejemplo el término 49, sin tener que realizar todas las sumas anteriores?
Sí, por supuesto. Además, ¿te imaginas a quién nos vamos a encontrar en la fórmula?
No tengo ni idea.
Pues nuestro querido ‘número áureo’ o Phi (φ):
Esta es la fórmula:
ƒn = [(φn-(1-φ)n]/√5
Aplicando esta fórmula (atribuida a Binet) es como he obtenido que en el minuto 49 serían 7.778.742.049 personas las que conocerían la noticia.
Está claro que los secretos dejan de serlo en el momento en que se los cuentas a alguien...
Es verdad. En cualquier caso, esta historia no es ningún secreto, así que la puedes difundir todo lo que quieras, incluso de forma masiva ;-)
Y si estás interesado en conocer más cosas sobre Fibonacci y su sucesión, o las progresiones geométricas, puede visitar cualquiera de estos maravillosos enlaces: La sucesión de Fibonacci en la naturaleza, Algunas curiosidades sobre los números de Fibonacci, Póngame media docena de Fibonaccis, El fractal de Fibonacci, una auténtica belleza de construcción, Tienes un correo, Métodos gestión bankroll: Sistema Fibonacci, El teorema de Zeckendorf o “Magia y Fibonacci”.
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