Recordado sobre todo por su papel en la serie televisiva M.A.S.H., Morgan había aparecido también en la gran pantalla dando la réplica a intérpretes de la talla de Henry Fonda, John Wayne, James Garner, Elvis Presley o Dan Aykroyd.
Morgan estudió derecho en la Universidad de Chicago. Después, trabajó por una larga temporada en un pequeño grupo de teatro en Washington, de donde saltó a Broadway, donde compartió cartel con Karl Malden en la producción Golden Boy. En 1976 marchó a Hollywod sin ninguna seguridad de que fuera a encontrar trabajo. Es su papel como coronel Potter en la serie M.A.S.H por el que Morgan es más conocido. La serie se emitió durante once temporadas con extraordinarios datos de audiencia.