En primer lugar, ¿qué es una ecuación de segundo grado? pues algo con el siguiente aspecto:
Ahora, para llegar a la solución general, vamos a ir resolviendo, previamente, los casos más simples.
Cuando sólo hay un término.
Este es el caso más sencillo, pues al haber un único término, éste debe ser, forzosamente, el término cuadrático, por lo que la ecuación quedaría
Este caso siempre tiene una única solución:
Cuando falta el término independiente.
Este caso tampoco tiene mayor complicación, sin más que recordar un hecho fundamental: si el producto de dos términos es 0, entonces al menos uno de ellos debe ser 0. En efecto, al faltar el término independiente, la ecuación queda así:
Este caso siempre tiene 2 soluciones diferentes:
El caso crucial: cuando falta el término en
Aquí las cosas comienzan a ponerse divertidas. La ecuación que tenemos que resolver es
En este caso:
- Si
0" style="display: inline;" alt="[;c>0;]" title="c>0" /> no hay solución (real). - Si
<0" style="display: inline;" alt="[;c<0;]" title="c<0"> hay dos soluciones: .
El caso general: completando cuadrados.
Por fin, llegamos a la ecuación completa
Una forma sencilla de ver quiénes son
Pero entonces, para resolver nuestra ecuación completa, basta resolverla escrita con
Si
Vaya, parece que tenemos siempre 2 soluciones. Pero esto no es así.
- Si
0" style="display: inline;" alt="[;\beta>0;]" title="\beta>0" />, como 0" style="display: inline;" alt="[;a>0;]" title="a>0" />, resulta que la ecuación no tiene solución (real), pues <0" style="display: inline;" alt="[;-\beta/a<0;]" title="-\beta/a<0">. - Si
, entonces la ecuación tiene una única solución (doble) - Si
<0" style="display: inline;" alt="[;\beta<0;]" title="\beta<0">, entonces la ecuación tiene dos soluciones:
La fórmula de la ecuación de segundo grado.
Con lo anterior, basta con escribir quién es
Recordemos que
Así que poniendo todo junto, las soluciones de la ecuación de segundo grado es
Y por cierto, como
- Si
<0" style="display: inline;" alt="[;b^2-4ac<0;]" title="b^2-4ac<0">, la ecuación de segundo grado no tiene solución. - Si
, la ecuación tiene una única solución (doble) . - Si
0" style="display: inline;" alt="[;b^2-4ac>0;]" title="b^2-4ac>0" />, la ecuación tiene dos soluciones dadas por la fórmula clásica.
Espero que este post haya sido útil par aquéllos que nunca se habían preguntado el origen de la fórmula de la ecuación de segundo grado.
Tito Eliatron Dixit
Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit.
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