Continuamos nuestro recorrido por la música y las matemáticas, esta vez de la mano de los fractales.
Fractales y caos
Los fractales son estructuras geométricas caracterizadas por la repetición de un patrón en diferentes escalas. Por ejemplo, Kanadoff, en un artículo en Physics Today, en 1986, dice: “La gente usa el adjetivo fractal de diferentes maneras, pero la mayoría de las definiciones identifican a los objetos fractales como cajas chinas o muñecas chinas”.
La autosimilaridad es pues la noción clave para un fractal. Hay dos tipos de relaciones de autosimilaridad. La primera es la similaridad idéntica, que es la de los fractales lineales, en los que el factor de escala reproduce exactamente la misma forma en diferentes tamaños. Sin embargo, en el caso de fractales no lineales, la reproducción del patrón a diferentes escalas no es exacta, pero puede describirse como autosimilaridad casi idéntica.
Originalmente, la palabra fractal procede de la palabra latina fractus, que significa quebrado o fracturado. La característica más sorprendente de un fractal es su dimensión fraccionaria. Vamos a explicarlo. Si nos planteáramos medir las dimensiones de un terreno abrupto, como por ejemplo una línea costera, deberíamos marcar una unidad de medida. Si vamos haciendo un zoom de los detalles, nos damos cuenta de la dificultad, porque cuanto más pequeña se haga esa unidad de medida, el perímetro tenderá a infinito.
La costa de Gran Bretaña
Las dimensiones fractales dan cuenta de la capacidad de la unidad de medida para cubrir todo el espacio, sin resquicios. Aparentemente, la costa podría visualizarse como una línea de una dimensión, desde una vista aérea, por ejemplo. Sin embargo, al aproximarnos a su forma detallada, comenzamos a visualizar el plano en el que está inscrita. Beniot Mandelbrot demostró que la dimensión fractal de una línea costera es 1.26, intermedia entre una línea y un plano.
Sorprendentemente, muchos objetos en la naturaleza son fractales no lineales, en los que la recursión de su estructura interna, a diferentes escalas, es casi idéntica.
Por ejemplo, encontramos fractales no lineales en: las nubes, los copos de nieve, las fluctuaciones del mercado de valores o la propagación de señales en nuestro sistema nervioso.
El interés en los fractales surge de la famosa teoría del caos, que atrae una gran atención tanto de expertos como del público en general, por las múltiples menciones al fenómeno en las artes visuales, en los guiones de películas o en la creación de música. La teoría del caos es, junto con la relatividad general y la mecánica cuántica, una de las teorías revolucionarias de la ciencia del s. XX.
En términos matemáticos, muchos fenómenos naturales vienen modelizados por medio de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales, si son integrables, se pueden resolver para casos particulares imponiendo unas condiciones iniciales (condiciones para los parámetros de los que depende, que están relacionados con nuestro entorno en el momento inicial en que consideramos el problema).
Decimos que una ecuación es determinista, si dadas unas condiciones iniciales, podemos encontrar la solución de ésta para cualquier tiempo indefinido.
Las ecuaciones meteorológicas, por el contrario, no son deterministas. Una pequeña variación en las condiciones iniciales del problema, puede desencadenar resultados inesperados. Estos son los regimenes caóticos de las ecuaciones diferenciales.
Una frase descriptiva que da cuenta de la sensibilidad de las ecuaciones diferenciales como modelos predictivos es: “el batir de alas de una mariposa en nuestro jardín puede desencadenar un huracán en otro continente”. (De ahí el nombre teoría del caos o efecto mariposa). Si estas ecuaciones fueran deterministas, tendríamos una solución general que podría darnos el tiempo meteorológico predicho de aquí a un año, o de aquí a cien. Sin embargo, la sensibilidad a las condiciones iniciales restringe las predicciones certeras a un rango de unos diez días (aunque las previsiones mejoran constantemente).
Atractor de Lorentz
La imagen que reproducimos se corresponde con el famoso atractor de Lorentz. Este atractor surge de las ecuaciones simplificadas para describir los fenómenos de convección en la atmósfera terrestre. Para ciertos valores de parámetros presentes en las ecuaciones, aparece un comportamiento caótico. Precisamente es su forma de mariposa ha inspirado el nombre del efecto mariposa.
Desde el punto de vista matemático, el desarrollo de potentes paquetes de cálculo como Wolfram Mathematica, o Maple, nos ha dado la capacidad de desarrollar herramientas para la programación de estos algortimos recursivos. Además, sus múltiples opciones de representación gráfica, nos proporcionan excelentes dibujos del fractales.
Música fractal
El éxito de las matemáticas en la música se ha reflejado, en los últimos años, en la denominada música fractal. Durante la pasada década, se hicieron muchos debates sobre la creación artística fractal. Beniot Mandelbrot, en colaboración con Harlam Brothers, propusieron en particular el tratamiento matemáticamente formal de la música fractal.
Conjunto de Mandelbrot
Como resultado de este debate, se organizaron una serie de seminarios en Geometría fractal en la Universidad de Yale. Otra consecuencia fue la publicación “Structural Scaling in Bach’s Cello Suite No. 3,” (Fractals Vol. 15, No. 1, 2007), en la que se revela la existencia de una estructura fractal semejante al conjunto de Cantor en la Suite nº 3 para violonchelo, de Bach.
El conjunto de Cantor recibe su nombre en honor a su descubridor George Cantor en el s. XIX. Es conjunto de Cantor es un subconjunto fractal en el intervalo [0,1], y se construye de la siguiente manera: se elimina el tercio de segmento central, respecto al inicial, recursivamente.
El libro “Benoit Mandelbrot: a life in many dimensions”, de World Scientific Publishing publicado en 2015, constituye una antología de música fractal. Uno de los descubrimientos más importantes expuesto en este libro es la existencia de música fractal desde hace más de seis siglos.
Un ejemplo de música contemporánea fractal, es la del compositor brasileño Dmitry Kormann.
Dmitry, un aficionado a los sintetizadores de música con generadores de melodías aleatorias, explica cómo puede crearse música con un patrón fractal subyacente, que da lugar a resultados armoniosos. La era de la música fractal comienza con la transcripción de las representaciones gráficas a sonidos mediante programas como Coagula o Metasynth. Iniciado el proceso, la implementación de mayor estructura cambia la dinámica del timbre, ritmo o tono.
Su idea surgió de la observación de texturas musicales que cautivaban su atención. Cuenta que podía identificar patrones recursivos en la percusión de ciertas composiciones de heavy metal, en particular con John Cage, quien ha dedicado más de veinte años de percusión basada en recursión de micro y macro composición y estructuras autosimilares.
En el siguiente ejemplo, el autor muestra la estructura fractal dentro de los ciclos de batería. Comienza con dieciséis series de compases divididos en cinco frases de diferente longitud:
Dado que a la primera frase se le ha asociado la longitud cuatro, podemos repetir esta estructura cuatro veces
A su vez, la segunda frase tiene longitud tres, por lo que repetiremos la figura anterior tres veces, posteriormente, la resultante se repetirá dos, dada la longitud de la tercera, etc.
El resultado de la composición sería:
El autor ha decidido llamar a su proceso creativo el Fractal de Wuferspiel, en honor al Wuferspiel (juego de dados) de Mozart y Haydn, en que los compases pueden organizarse al azar siguiendo el lanzamiento de un dado, y aún así, la melodía sonaría musicalmente coherente.
Otro compositor influyente en la creación de música fractal fue el español Francisco Guerrero, de gran prestigio internacional, interesado desde su niñez en las matemáticas y su relación con la música, astronomía o psicología. El caracter fractal de sus composiciones se plasmó, principalmente, en su gran sinfonía para orquesta titulada Sahara. Dado el carácter matemático de sus obras, estas adquirieron una gran complejidad sinfónica, que le llevó al éxito en el extranjero. Su música fue tildada de anárquica, con un gran sentimiento. Él mismo decía: “Me gusta el arte potente y el que sólo se sustenta en sí mismo. No me interesa el arte panfletario y el que tiene que recurrir a lo externo para justificarse. No me interesa el minimalismo, el serialismo integral, el espectralismo, los neos de ninguna especie”. Desafortunadamente, este enigmático compositor murió joven debido a una enfermedad fulminante, dejándonos un legado de de música compuesta, muy meticulosa y radicalmente basada en las matemáticas. En el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) celebrado en Madrid en 2006 se organizó un homenaje a este gran compositor.
Teoría del caos, fractales y las artes
Los fractales y la teoría del caos no sólo han servido como fuente de inspiración en la música. Son muchas las referencias a esta teoría matemática en campos multidisciplinares.
MC Escher
Por ejemplo, el artista Maurits Ernelis Escher (1898-1972), cambió las acuarelas de paisajes por técnicas menos populares: recubrir el plano completamente con figuras dibujadas, o plasmar el concepto del infinito en la pintura. A pesar de ser un ignorante de las matemáticas desde el punto de vista operacional, sus trabajos hicieron referencias directas a elementos matemáticos: recubrimientos del espacio con poliedros, el juego con la geometría proyectiva, la inclusión de cintas de Moebius, o la experimentación con geometrías alejadas de la euclídea. “Mi interés principal es lo asombroso”, decía Escher.
El tema preferido de Escher fueron las estructuras en superficies y la denominada metamorfosis. La metamorfosis es el proceso en que se iteran pequeños cambios de la figura patrón, a veces idénticos, otras veces con alteraciones de la figura, recubriendo siempre las superficies. Escher siempre buscaba la armonía visual en su composición, como un músico busca su armonía auditiva. Sus inspiraciones procedían de sus lecturas de tratados matemáticos, si bien no entendía el lenguaje, sí supo captar la naturaleza pictórica de las leyes. La Alhambra fue una gran fuente de inspiración para él, en sus excursiones a la ciudad de Granada durante 1926. Algunos de sus trabajos pueden contemplarse plasmados en las mismas calles de Madrid. El siguiente fresco se corresponde con el Escher Castizo, con particiones regulares de la superficie.
En la calle Conde de Romanones, Madrid, un gran esgrafiado recubre la fachada de un edificio con uno de los diseños de Escher (obra de Julio Barbero)
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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).