La teoria del juego y las ecuaciones integrales con raiz simetrica

Émile Borel fue un matemático y político francés (1871-1956). Damos a continuación un breve artículo suyo que, tras el de Ernst Zermelo, sentaron las bases para la incipiente Teoría de Juegos que fundaron más tarde Oskar Morgenstern y John von Neumann. Para la inteligencia del problema planteado hacen falta algunos conocimientos de cálculo matricial y combinatoria, pero la idea básica es bastante elemental. No deja de sorprender por otro lado la conclusión final, que no sé si a los ajedrecistas les podrá ser útil. Finalmente, quisiera agradecer a mis compañeros Encarni Amaro, José Manuel Marín y Carmen Alberola, del IES Virgen de la Cabeza de Marmolejo (Jaén), la ayuda prestada.
LA TEORIA DEL JUEGO Y LAS ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO SIMÉTRICONota de Émile BorelComptes rendus des scéances de l´Academie des Sciences, Juillet-Décembre 1921, tome 173, pp. 1304-1308.
   Consideremos un juego donde la victoria depende a la vez del azar y de la habilidad de los jugadores y ciñámonos al caso de dos jugadores A y B y de un juego simétrico, de manera que, si A y B adoptan el mismo método de juego, sus oportunidades son iguales. Podemos proponernos averiguar si es posible determinar un método de juego mejor que otros, es decir, que dé al jugador que lo adopte una superioridad sobre todo jugador que no lo adopte. Precisemos antes que nada lo que debemos entender por un método de juego: es una regla [code] que, en todas las circunstancias posibles (supuestas en número finito), fija exactamente lo que el jugador debe hacer. En la mayoría de los juegos habituales, el número de métodos posibles es extremadamente grande, aunque siempre finito. Si el jugador A adopta el método C_i, y B el método C_k, el cálculo de probabilidades permite calcular la probabilidad de victoria de A, a la que llamaremos a y la de B, que será b = 1̶a;planteamos
(1)
los números α_ik y α_ki, comprendidos entre̶1/2 y + 1/2, satisfacen la relación
(2)                         α_ik + α_ki = 0.
La simetría del juego se expresa por las relaciones
(3)                         α_ii = 0.
Diremos que una manera de jugar C_i es mala si α_ih es negativo o nulo cualquiera que sea h; excluiremos las maneras de jugar malas; tras esta exclusión, podrá haber otras maneras de jugar que se convertirán en malas; estas son las maneras C_j, tales que α_jksea negativo o nulo, cualquiera que sea la manera C_k no excluida con anterioridad como mala: continuaremos esta exclusión hasta que no subsistan más maneras malas de jugar; podrá ocurrir entonces que haya una manera de jugar indiferente C₀, tal que α_0k sea nulo cualquiera que sea k; dejaremos provisionalmente de lado este caso; las maneras de jugar C_h que subsistan son entonces aquellas en las que α_hk es positivo para al menos un valor de k; si existiera una manera de jugar C_h, tal que α_hk sea siempre positivo o nulo, esta manera de jugar sería la mejor. En el caso de que esta mejor manera no exista, puede uno preguntarse si no es posible, a falta de una regla elegida de una vez para todas, jugar de una manera ventajosa variando el juego. Si se quiere formular una regla precisa para variar el juego, la cual no se haría intervenir más que para los hechos considerados dentro del juego y no para consideraciones psicológicas sobre el jugador al que uno se opone, esta regla, decimos, equivale forzosamente a un enunciado como el siguiente: la probabilidad para la que, en un momento dado del juego, A adopta, a la hora de fijar su conducta en ese momento, la regla C_k es p_k; la probabilidad análoga para B podrá ser designada por q_k, designando mediante n el número de reglas que subsisten, tenemos
(4)  
   La probabilidad de ganar de A es, teniendo en cuenta (1), (2), (3) y (4),  
planteando,
(5)

   En el caso particular en que n = 3, esta fórmula se convierte en
(6)

Si, como suponemos, ninguna de las tres maneras de jugar C₁, C₂, C₃, es mala, se ve inmediatamente que ninguna de las tres es mejor que las otras; los tres números α₂₃,α₃₁,α₁₂ son por tanto del mismo signo; es fácil encontrar números positivos p₁, p₂, p₃ que satisfagan la relación (4), tales que a sea nulo sean cuales sean los números q₁, q₂, q₃. Es posible por tanto adoptar una manera de jugar que permita luchar con oportunidades iguales contra cualquier jugador; esta manera de jugar consiste, antes de tomar cualquier decisión, en sortear dentro de unas condiciones que atribuyen respectivamente las probabilidades p₁, p₂, p₃ las reglas C₁, C₂, C₃. Pero es fácil de ver que, desde que n sobrepasa 3, esta circunstancia no se presentará más que para valores muy particulares de los α_ik; en general, cualesquiera que sean los p, será posible en (5) elegir los q de manera que a tenga un signo fijado de antemano. Cuando ello sea así, cualquiera que sea la variación introducida por A en su juego, desde el momento en que esa variación está definida, es suficiente que B la conozca para que pueda variar su juego con objeto de tener una ventaja sobre A; la recíproca es igualmente verdadera; debemos concluir que el cálculo de probabilidades no puede servir más que para permitir la eliminación de las maneras de jugar malas y el cálculo de los α_ik; para lo demás, el arte del juego depende de la psicología y no de las matemáticas.   Es fácil de ampliar las consideraciones precedentes en el caso en que las maneras de jugar formen una infinitud continua; si queremos tomar a la vez los casos de lo continuo y lo discontinuo, habrá que reemplazar las relaciones (4) por relaciones como las siguientes:
(7)

las funciones crecientes ϕy ϕ₁, que dependen, por ejemplo de dos variables, y las integrales, estando definidas en el sentido de Stieltjes. Estas funciones definen las maneras de jugar de A y B; la probabilidad de ganar está definida por una función simétrica izquierda f (x, y, x₁, y₁), es decir, que la relación (2) es reemplazada por
(8)                      f (x, y, x₁, y₁) = ‒ f(x₁, y₁, x, y).  
El valor de α está dado entonces por la integral de Stieltjes
(9)  
Numerosos problemas sobre un juego tal pueden por tanto ser traídos a colación para el estudio de ecuaciones integrales con núcleo simétrico izquierdo; este núcleo depende de las convenciones del juego, mientras que las formas diversas de las ecuaciones integrales dependen de los problemas planteados.Entre los juegos para los cuales las maneras de jugar forman una doble infinitud continua, uno de los más simples es el siguiente: A y B eligen cada uno tres números positivos cuya suma es igual a 1.
(10)

y cada jugador dispone en un orden determinado los números que ha elegido. A gana si dos de los números elegidos por él son superiores a los números correspondientes de B, es decir si
(11)                         (x₁ ‒x) (y₁ ‒y) (z₁ ‒z) > 0,
y pierde en el caso contrario; la partida es nula si la desigualdad (11) se transforma en igualdad. Podemos naturalmente generalizar de muchas maneras reemplazando (10) y (11) por otras relaciones.Una forma muy simplificada de este juego, interesante a la hora de estudiarlo como ilustración de lo que precede, consiste en suponer los números x, y, z, x₁, y₁, z₁ enteros positivos que satisfagan las relaciones[1](12)
                  La ganancia o la pérdida dependen siempre del signo del producto (11). El número 7 es el más pequeño de los enteros para el cual el juego no conlleva maneras de jugar superiores a otras.   Los problemas de probabilidades y de análisis que podría proponerse a propósito del arte de la guerra o de las especulaciones económicas o financieras no carecen de analogía con los problemas relativos a los juegos, pero con un grado de complicación en general bastante más elevado. Para su solución práctica, el espíritu geométrico debe ser ayudado por el espíritu de finura [esprit de finesse]. El único consejo que el geómetra puede dar, en ausencia de toda indicación psicológica, al jugador A cuyo adversario B busca utilizar las anotaciones precedentes, es el de variar el juego de tal manera que las probabilidades atribuibles por un observador exterior a sus diversas maneras de jugar no sean nunca definidas; la función ϕ (x, y) debe pues variar a cada instante, y variar sin seguir ninguna ley; podemos dudar de que sea posible indicar un medio efectivo y seguro de poner en acción tal consejo; parece que, para seguirlo a la letra, haría falta una incoherencia total de espíritu, aliada, claro está, a la inteligencia necesaria para eliminar los métodos que hemos calificado de malos.
(Traducción de Francisco J. Fernández)

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[1]Podemos, por concretar este juego, suponer que x, y, z designan números de cartas elegidas libremente por cada jugador (o bien distribuidas por combinaciones donde intervendrían a la vez el azar y la voluntad del jugador); el juego de A se compone pues de x tréboles, y diamantes y z corazones, y A gana a B si lo supera numéricamente en dos de los palos.