Integral definida
Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente
Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos:
- el de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225
- el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25
En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura
En el instante ti-1 la velocidad del móvil es vi-1, en el instante ti la velocidad del móvil es vi. La velocidad media <vi> en el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es
<vi>=v(ti)+v(ti−1)2
El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es aproximadamente el área del rectángulo <vi>·Δti. El desplazamiento total x-x0 entre el instante inicial t0, y el instante final t=tn es, aproximadamente
x−x0≈∑i=1n<vi>Δti
donde n es el número de intervalos
Si v=-t2+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t0=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale
x-x0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m
Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t0, t) es muy grande Δti→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como
x−x0=∫t0tv⋅dt
Si v=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t0=0 y t=10 s vale
x−x0=∫010(−t2+14t+21)⋅dt=−t33+7t2+21t∣∣∣100=17303 m