p>Una de las sucesiones numéricas más interesantes es la de los inversos de los naturales
. La suma de todos estos número, la serie numérica, se conoce como
serie armónica y no es demasiado complicado (es un ejercicio de primero de carrera científica) comprobar que esta serie es divergente, es decir, que su suma es infinita.
Para estudiar una serie, lo que se suele
mirar es su sucesión de sumas parciales, es decir, vamos viendo cuál es la suma de los
primeros términos. En el caso de la serie armónica, esta suma parcial es
y habitualmente se la conoce como el
enésimo número armónico.
Una vez hechas las presentaciones de los protagonistas, vamos a presentar el problema. Es evidente que
, pero ¿habrá algún otro número natural
tal que
sea, de nuevo, un número natural? Os adelanto la respuesta:
NO.
En el presente artículo vamos a demostrar este hecho y comprobaremos que se trata de uno de esos problemas que son muy sencillos de plantear, pero cuya solución es más complicada de lo que
a priori se podría pensar.
En realidad, vamos a ver 3 demostraciones.
La
primera demostración utiliza el
Postulado de Bertrand, que asegura (en su formulación más débil) que si
1" style="display: inline;" alt="[;n>1;]" title="n>1" /> entonces existe un número primo
entre
y
. Aplicando este Postulado, dado cualquier natural
, siempre se puede encontrar un primo
entre
y
(para el caso
hace falta considerar
como número primo). Así en
aparecerá el sumando
pero no
; dicho de otra forma, cualquier número
entre
y
no es divisible entre
. Así que vamos a separar de
el sumando
y a agrupar el resto, es decir,
donde el denominador
no es divisible entre .
Supongamos, ahora, por reducción al absurdo, que
. Multiplicando la expresión anterior por
tendríamos que
tendría que estar en
(pues
y
serían números naturales). Pero esto entra en contradicción con el hecho de que
no es divisible entre
, con lo que nuestra hipótesis debe ser falsa.
Claro, esta demostración no es complicada, pero utiliza un resultado que es bastante potente como es el Postulado de Bertrand y que no todo el mundo tiene por qué conocer. Así que vamos a buscar otra prueba.
Vamos ahora con la
segunda demostración. Para ello, vamos a fijarnos en los primeros números armónicos:
Si nos fijamos, vemos que todos son de la forma
Impar/Par. Si esto fuese siempre cierto, en particular, demostraríamos que nunca puede ser natural. La demostración de este hecho se debe a Taeisinger y data de 1915.
Sea
el mínimo común múltiplo de
. Como
1" style="display: inline;" alt="[;n>1;]" title="n>1" />, es claro que
debe ser
par. Además, para cada número
entre
y
existirá
tal que
, o lo que es lo mismo,
. Así pues, tenemos que
Como
1" style="display: inline;" alt="[;n>1;]" title="n>1" />, existe alguna potencia (no nula) de
entre
y
; sea
la mayor de estas potencias. Dicho de otro modo, elegimos el único
de forma que
<2%5E%7Br+1%7D" style="display: inline;" alt="[;2^r\le n<2^{r+1};]" title="2^r\le n<2^{r+1}">. De esta forma, el único natural entre
y
que es divisible entre
es el propio
(puesto que
n" style="display: inline;" alt="[;2\cdot 2^r=2^{r+1}>n;]" title="2\cdot 2^r=2^{r+1}>n" />) y podemos asegurar que
para algún número
impar . Pero como
, tenemos que para cada
es
.
Ahora bien, si
, resulta que
es
impar. Sin embargo, si
, como
no puede ser divisible entre y
sí que lo es, debe ocurrir que
sea
par.
Resumiendo, en el numerador de la expresión de
(que recordemos era
) todos los sumandos son
pares excepto 1 de ellos que es
impar, por lo tanto, toda la suma debe ser
impar.
Esta es la demostración original y tiene la particularidad que es posible generalizarla (y de hecho así lo hizo Kurshchak en 1918) para demostrar que
con
n" style="display: inline;" alt="[;m>n;]" title="m>n" />.
La
tercera demostración... bueno, esa no os la voy a hacer. Os la dejo para que vosotros la intentéis y sería utilizar los mismos argumentos que la
Primera demostración, pero utilizando
potencias de 2 (como se hace en la
segunda demostración) en lugar de números primos.
Tito Eliatron Dixit
PD1: Esta entrada participa en la
Edición 4.12 del
Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es
High Ability Dimension.
PD2: Este problema lo conocí gracias a
Nahuel Nehuen.
Referencias:
Esta entrada se ha publicado originalmente en
Tito Eliatron Dixit.
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