Euclides basó toda la geometría griega en cinco postulados:
1. Por dos puntos solo pasa una recta.2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente.3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia.4. Todos los ángulos rectos son iguales.5. Por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela.
Durante mucho tiempo se pensó que el quinto postulado era superfluo, y que debería poderse deducir de los anteriores. Hoy sabemos que es necesario para definir la geometría plana. Con un quinto postulado que diga que no hay ninguna paralela tendremos la geometría esférica (cerrada) y con uno que diga que hay más de una tenemos la geometría hiperbólica (abierta).
Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento haya una proposición que no se pueda deducir (como cualquier versión del quinto postulado a partir de los cuatro anteriores) y que deba añadirse a la lisa de postulados? En ese caso, la geometría se dividiría otra vez, según se afirme o se niegue esa proposición.
La respuesta de Gödel es inquietante: Cualquier sistema formal consistente (que no contenga contradicciones) que permita describir la aritmética será necesariamente incompleto. Siempre habrá afirmaciones que se puedan expresar en el lenguaje del sistema cuya veracidad o falsedad no se puedan demostrar en ese sistema.
Demostrar una afirmación (o su negación) significa que, manipulando los símbolos del sistema según sus reglas, se puede construir tal afirmación (o su negación). Podría ser posible demostrar esa afirmación (o su negación) en otro sistema formal, pero ese otro sistema tendría, según el teorema, sus propias proposiciones indemostrables dentro de él.
Gödel demuestra su teorema haciendo ver que en un sistema formal T que reúna las características pedidas es posible enunciar una proposición X que diga lo siguiente: "La proposición X no es demostrable dentro del sistema T". Si la proposición X fuera demostrable, tendríamos una contradicción (sería demostrable porque la hemos demostrado, y no demostrable porque es lo que dice la proposición). Pero como no es demostrable, la proposición es cierta, porque dice justamente eso.
El teorema de Gödel dice, entonces, un par de cosas más. La primera es que existen proposiciones ciertas cuya veracidad no es demostrable dentro del sistema. La segunda es que hay que distinguir entre proposiciones bien construidas dentro de un sistema (las que se demuestran) y verdades deducidas fuera del sistema.
La veracidad de la proposición X se ha establecido fuera del sistema T. Se suele referir a esto como "saltar del sistema". Podemos ahora añadir esa proposición X al conjunto de axiomas del sistema T, pero entonces el sistema se habrá convertido en otro sistema, el T', que tendrá su propia proposición indecidible (indemostrable) X' que dirá "X' no puede demostrarse dentro del sistema T'.
Así pues tenemos que los sistemas formales que puedan describir los números serán necesariamente incompletos. Habrá proposiciones indecidibles. Las matemáticas no pueden ser completas.
No es el caso de la geometría euclidiana, que puede axiomatizarse para ser completa.