ProblemaUn frutero gasta 3 sumas iguales de dinero en comprar manzanas, naranjas y plátanos. Cada naranja cuesta 10 euros menos que una manzana y 15 euros más que un platano; en total compró 150 frutas. El número de naranjas excedió al de manzanas en tantos platanos como pudo comprar por 150 euros. ¿cuanto invirtió en total el frutero? Sug. En función a una constante resolver el sistema de ecuaciones.
Solución
Supongamos que:
x : es el número de manzanas que compró el comerciante.
y : es el número de naranjas que compró el comerciante.
z : es el número de plátanos que compró el comerciante.
m : el precio de una sola manzana.
n : el precio de una sola naranja.
p : el precio de un solo plátano.
La expresión:"Un frutero gasta 3 sumas iguales de dinero en comprar manzanas, naranjas y plátanos".
Traducido matemáticamente seria:
\( mx = ny = pz \)
Si asumimos que la igualdad anterior sea igual a \( t \), es decir:
\( mx = ny = pz = t\)
\( x = \cfrac{t}{m} \\ y = \cfrac{t}{n} \\z = \cfrac{t}{p} \quad ......(i)\)
De (i), podemos deducir las siguientes igualdades:
La expresión:"Cada naranja cuesta 10 euros menos que una manzana y 15 euros más que un plátano".
Traducido matemáticamente seria:
\( n=m-10=p+15 \)
De donde podemos decir que:
\( n=p+15 \\ m=p+25 \quad ......(ii)\)
La expresión:"en total compró 150 frutas".
Traducido matemáticamente seria:
\( x+y+z=150 \quad ......(iii) \)
Finalmente la expresión:"El número de naranjas excedió al de manzanas en tantos platanos como pudo comprar por 150 euros.".
Traducido matemáticamente seria:
\( y = x + \cfrac{150}{p} \quad ......(iv) \)
Estos son los datos dados por el problema, de aquí en adelante viene la resolución del sistema de ecuaciones.
Reemplazando \( (ii) \) en \( (i) \):
\( x = \cfrac{t}{p+25} \\ y = \cfrac{t}{p+15} \\z = \cfrac{t}{p} \quad ......(v)\)
Reemplazando \( (v) \) en \( (iii) \) :
\( \cfrac{t}{p+25}+\cfrac{t}{p+15}+\cfrac{t}{p}=150 \)
\( \rightarrow t(\cfrac{1}{p+25}+\cfrac{1}{p+15}+\cfrac{1}{p})=150\)
\( \rightarrow t=\cfrac{150}{(\cfrac{1}{p+25}+\cfrac{1}{p+15}+\cfrac{1}{p})} \quad ......(vi) \)
Reemplazando \( (v) \) en \( (iv) \):
\( \cfrac{t}{p+15} = \cfrac{t}{p+25} + \cfrac{150}{p} \)
\( \rightarrow \cfrac{t}{p+15} = \cfrac{t}{p+25} + \cfrac{150}{p} \)
\( \rightarrow \cfrac{t}{p+15} - \cfrac{t}{p+25} = \cfrac{150}{p} \)
\( \rightarrow t(\cfrac{1}{p+15} - \cfrac{1}{p+25}) = \cfrac{150}{p} \)
\( \rightarrow t = \cfrac{150}{p(\cfrac{1}{p+15} - \cfrac{1}{p+25})} \quad ......(vii)\)
De \( (vi) \) y \( (vii) \):
\( t=\cfrac{150}{(\cfrac{1}{p+25}+\cfrac{1}{p+15}+\cfrac{1}{p})} = \cfrac{150}{p(\cfrac{1}{p+15} - \cfrac{1}{p+25})} \)
\( t=\cfrac{150}{(\cfrac{(p+15)p+(p+25)p+(p+25)(p+15)}{(p+25)(p+15)p})} = \cfrac{150}{p(\cfrac{(p+25)-(p+15)}{(p+25)(p+15)})} \)
\( t=\cfrac{150}{(\cfrac{3p^2+80p+375}{(p+25)(p+15)p})} = \cfrac{150}{p(\cfrac{10}{(p+25)(p+15)})} \)
\( t=\cfrac{150(p+25)(p+15)p}{3p^2+80p+375} = \cfrac{150(p+25)(p+15)}{10p} \)
\( \cfrac{p}{3p^2+80p+375} = \cfrac{1}{10p} \)
\( \rightarrow 10p^2 = 3p^2+80p+375 \)
\( \rightarrow 7p^2-80p-375 = 0 \)
\( \rightarrow (7p+25)(p-15) = 0 \)
Como p representa el precio de una fruta, obviamente p es mayor que cero, por lo tanto p = 15
Reemplazando en \( (vi) \): \( t = 1200 \)
Lo que invirtió fue \( 3t \) es decir \( 3600 \)