2014 mágico

El cambio de año nos proporciona una excelente excusa para repasar las distintas características matemáticas de los números naturales, haciendo una comparativa entre los números 13 y 14. Con esta historia, Matifutbol aprovecha para desearos que paséis unas felices fiestas, y que el año 2014 sea un año mágico. (Esta entrada participa en la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@tes.)
PRIMERA PARTE
Matifutbol ha conseguido reunir a parte de los mejores jugadores de fútbol para desearos un Feliz 2014!

¡Espero que tengáis un año estupendo, y que os salgan todas vuestras cuentas!
Muchas gracias, pero.... ¿te has fijado que hay 13 jugadores en la felicitación? ¡Qué mala suerte! Además, como el año que viene es el 2014, creo que deberías haber reunido a 14 jugadores para la foto.
Bueno, no veo por qué el número 13 tiene que significar mala suerte. En todo caso, podemos hacer lo que dices.
¿Sí? ¿Cómo? Va a ser difícil volver a reunirles para hacerles nuevamente una foto a todos juntos, con un jugador más...
Bueno, hay una forma de hacerlo, sin convocarles otra vez, aplicando un movimiento de traslación.
¿Puedes imaginar de qué manera?

SEGUNDA PARTE
Pues yo no veo la forma de arreglar esto...
Bueno, tampoco hay nada que arreglar. El 13 es un número más, como otro cualquiera.
Sí, pero se dice que trae mala suerte. Por algo será...
Bueno, la verdad es que esto es algo que viene de antiguo. Más incluso de lo que pensamos. En realidad, es una superstición que procede de los tiempos de nuestros ancestros, que adoraban a las fuerzas de la naturaleza.
¿Qué tiene que ver la naturaleza con el número 13?
Pues mucho, especialmente la luna. Nuestros antepasados descubrieron que había años con 12 lunas nuevas, y años con 13 lunas. En realidad, la media es de 12,41 lunas nuevas por año. Antes de que configurásemos los calendarios con 12 meses, hubo calendarios con 13 meses, uno de los cuales era más reducido que los demás.
Esta decimotercera luna incompleta, que provocaba un mes atípico, de menos días que el resto, daba más quebraderos de cabeza que ventajas a los chamanes que tenían que confeccionar los calendarios de ritos y festejos, así que finalmente acabaron cogiéndole ‘rabia’ al número.
¿Así comenzó todo?
Es probable, ya que casi todas las culturas y civilizaciones antiguas a lo largo de todo el mundo recogen algún tipo de historia sobre este número.
Así, el 13 es considerado un número siniestro por la civilización persa, donde se identificaba al número 13 con el caos, de tal manera que el día 13 del calendario todos abandonaban sus casas para evitar la mala suerte. Zoroastro también lo identifica con el diablo, y en la mitología nórdica aparece el Dios Loki, señor de las mentiras y el engaño, como el dios número 13 asistente a una cena fatídica.
También los egipcios reservaron el número 13 para la última etapa de la vida, la de la muerte. De esta forma lo recoge el Tarot, que también asigna la carta de la muerte a esta cifra.
Y en el cristianismo encontramos numerosas referencias. Desde el decimotercer invitado a la Última Cena de Jesucristo (Judas Iscariote), que fue quien le traicionó, hasta el decimotercer capítulo del Apocalipsis, que es cuando se predice la venida del Anticristo.
En todo caso, podríamos encontrar un sinfín de referencias negativas respecto a cualquier número que quisiéramos. Pero está claro que hay algo especial en este número 13 que hace que fijemos más la atención en él que sobre otros.
Sí, la verdad es que casi todo el mundo tiene cierto recelo supersticioso respecto a este número.
Hay algunos que incluso lo llevan a extremos insospechados. Hablamos de la triscaidecafobia, que consiste en el miedo extremo e irracional al número trece. Así, debido a esta fobia, nos encontramos con países en los que se omite el piso número 13 en los bloques de edificios, calles sin portales con el número 13, aviones sin fila 13 de asientos o deportistas que evitan llevar ese dorsal en la camiseta, entre otras curiosidades.
Pero todo esto es completamente contrario a las Matemáticas, ¿no es así?
Cierto, aunque la numerología, que es el conjunto de creencias o tradiciones que pretende establecer una relación mística entre los números, los seres vivos y las fuerzas físicas o espirituales, siempre ha evolucionado de forma paralela al desarrollo de las Matemáticas.
De hecho, un insigne matemático como Pitágoras, ya en su época (el siglo V a.C.) desarrolló todo un estudio sobre las relaciones entre los números y las leyes de la naturaleza. Y también se ocuparon de estudiar este tipo de relaciones los estudiosos de la Cábala, o incluso las culturas orientales, que otorgan a los números ciertas propiedades y significados.
Pero prescindiendo de todo esto, el número 13, a efectos matemáticos, también es un número muy interesante.
Así, se trata de un número primo, esto es, sólo es divisible por él mismo y por la unidad. También es el primer número omirp, es decir, que si lo escribimos al revés, 31, tenemos otro número primo.
Además, en uno de los términos de la sucesión de Fibonacci, en la que cada número se obtiene sumando los dos anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
Es un número que forma una terna pitagórica: 5, 12, 13. Esto significa que son tres números enteros positivos que cumplen la condición de que a²+b²=c², o sea, que se pueden asociar con las longitudes de los 2 catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Además, esta terna pitagórica es primitiva, es decir, que el máximo común divisor de los 3 números es 1.
Por otra parte, solo existen 13 sólidos de Arquímedes (sin contar las formas isomórficas). Y 13 fueron los libros que escribió Euclides sobre las Matemáticas.
Junto a los números 5 y 563, el 13 es uno de los tres números primos de Wilson que se conocen, es decir, que cumple la propiedad de que 13² divide exactamente a (13-1)! + 1.
El 13 es un número feliz, como puedes ver en este enlace. Y es el tercer número ordenado de Bell o número de Fubini (relacionado con la combinatoria). Todo ello entre otras múltiples propiedades.

¿Y todo esto es importante? ¿De qué sirve que sea primo, o que pertenezca a la sucesión de Fibonacci, por ejemplo?

Pues recientemente los números primos han cobrado gran relevancia en el tema de la encriptación de documentos. Además de que son, por así decirlo, la base sobre la que se construyen todos los demás números naturales.
Y la sucesión de Fibonacci, en la que cada término es la suma de los dos anteriores, la encontramos en muchos lugares de la naturaleza: en las tasas de reproducción de animales o virus, en la distribución de hojas alrededor del tallo de las plantas, en las piñas, en los girasoles, en las margaritas, en el árbol genealógico de las abejas.... (puedes ver aquí un completo estudio sobre el tema). Además, cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás.
Pero todo esto también sucederá con otros números, por ejemplo con el número 14.
Pues no creas. A diferencia del número 13, que parece un número bastante singular en términos matemáticos, el número 14 apenas si tiene alguna particularidad digna de mención.
Es un número piramidal cuadrado, esto es, es la suma de los tres primeros cuadrados
14 = 1²+2²+3²

que si los visualizamos como capas de esferas puestas una encima de otra, representa una pirámide con una base de cuatro lados.

El 14 es un número semiprimo o biprimo, ya que es un número natural que resulta del producto de dos números primos no necesariamente distintos: 14=7*2.
Es un número de Catalan (relacionados con los problemas de combinatoria), es un número meándrico abierto (relativo a intersecciones de curvas y rectas), es un número de Pell-Lucas (pertenece a una secuencia de números relacionada con la aproximación mediante números racionales a la raíz cuadrada de 2), y es el máximo número de electrones que pueden estar en el subnivel f.
Todas ellas son características importantes, pero menos relevantes y prácticas que las que posee el número 13.
Entonces, quizás no haya sido mala idea convocar a 13 jugadores, y no a 14, para realizar la felicitación de Año Nuevo. Pero, ¿qué me puedes decir de los números 2013 y 2014?

Pues ambos son números esfénicos, esto es, se pueden descomponer en el factor de tres números primos distintos
2013=3*11*61 y 2014=2*19*53

Pero además el 2013 es la suma de tres números esfénicos consecutivos:

2013 = 665 (5*7*19) + 670 (2*5*67) + 678 (2*3*113)
Ambos tienes 8 divisores: 1, 3, 11, 33, 61, 183, 671, 2013 y 1, 2, 19, 38, 53, 106, 1007, 2014.
Ninguno de ellos es un número de Fibonacci, ni de Bell, ni de Catalan, ni factorial, ni regular, ni perfecto. Aunque ambos números cumplen otras múltiples y singulares propiedades, como puedes ver en este enlace del número 2013 y en este enlace del número 2014.
En cuanto a felicidad, podemos decir que el número 2013 sí es un número feliz, mientras que el 2014 no lo es.

Así que tampoco hay mucha diferencia entre un número y otro... No obstante, yo sigo pensando que no me gusta la felicitación con solo 13 jugadores.

Pues todos los jugadores ya se han ido todos a sus casas, y va a ser difícil volverlos a reunir, así que te propongo un ejercicio de traslación.
¿Qué es eso de la traslación?
Bueno, se trata de una transformación puntual por la cual a cada punto del plano se le hace corresponder otro punto. Es un movimiento directo sin cambio de orientación, es decir, las figuras u objetos trasladados mantienen su forma, su orientación y su tamaño, de tal forma que las figuras trasladadas son idénticas a las figuras iniciales.
Vale, pero no veo que vas a conseguir cambiando a los jugadores de sitio.
No es que los vaya a cambiar exactamente de sitio, pero sí voy a hacer algo parecido. ¿Quieres verlo?
Sí, quiero ver qué haces con los jugadores. Así que voy a hacer clic en el vídeo.

Bueno, realmente es una curiosa forma de convertir a los 13 jugadores en 14. aunque ahora algunos de ellos no son reconocibles...
Pero el mensaje sí que ha permanecido igual: Matifutbol os desea un Feliz año 2014!

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