¿A qué distancia se producen los relámpagos?

Texto e imágenes por José Alejandro Tropea para "Universo a la vista 2"
¿Nunca jugaste con la diferencia de velocidades de la luz y el sonido durante una tormente eléctrica? Me refiero a calcular la distancia a la que se produce un rayo en función del tiempo que pasa entre la llegada del rayo y la llegada del trueno, aprovechando la diferencia de velocidades de propagación de la luz y el sonido. Acá empezamos por ese cálculo y después nos aventuramos más allá de lo que la Naturaleza generosamente nos ha dado para hacerlo.
Empecemos por el cálculo clásico
La velocidad de la luz es de 300.000 km/s (el valor exacto es de 299.792,458 km/s en el vacío). La velocidad del sonido en el aire es de 343 m/s a 25 grados y de 313,5 m/s a cero grado, para simplificar los cálculos vamos a suponer una velocidad de 333 m/s, esto es 1/3 km/s.
Lo interesante es el tema de la velocidad de la luz. Su valor es tan grande con respecto a la del sonido,que para nuestros cálculos podemos considerarla "infinita", o dicho de otra manera, como si el proceso fuera "instantáneo": como si viéramos el rayo al mismo tiempo que se produce, esto es, suponemos que es válida la famosa "acción a distancia" del fenómeno, que tanto protagonismo ha tenido en la historia de la física. Con estas consideraciones y basados en la fórmula básica del movimiento rectilíneo uniforme el cálculo se hace muy simple. Contamos "a ojo" o con reloj los segundos que transcurren desde que vemos el rayo hasta que oímos el trueno y ese tiempo, en segundos, lo dividimos por tres (habíamos supuesto que cada tres segundos el sonido recorre un kilómetro) y obtenemos la distancia en kilómetros.
D=Vs.t=t/3 [km/s]
Donde:
D: distancia entre donde se produce el rayo y nosotros en kilómetros
Vs: velocidad del sonido en kilómretros por segundo
t: tiempo que se calcula desde que se ve el rayo hasta que se oye el trueno en segundos
Juguemos con las velocidades
Eso es todo para el cálculo real, ¿pero qué pasaría si la velocidad de la luz fuera del orden de la velocidad del sonido? Esto se pone interesante, averigüemoslo:
Ahora no podemos ignorar o despreciar el tiempo que tarda la luz en llegar a nosotros, ni que el sonido por lo tanto ya recorrió cierta distancia tampoco despreciable cuando vemos el rayo, así que a partir de ese momento el tiempo que midamos no es el que va desde que parió el sonido sino el que va desde donde estaba cuando vemos el rayo. O sea, será una fracción del tiempo total. Ayudémonos con el siguiente gráfico para el análisis:

Donde:
d1: distancia recorrida por el sonido hasta que vemos la luz del rayo
d2: distancia que le resta recorrer al sonido
D: distancia total entre el rayo y nosotros
El cálculo con números
Para que esto sea lo más claro y simple posible, hacemos primero los cálculos con una relación específica entre las velocidades y después los repetimos algebraicamente. Supongamos que la luz es apenas tres veces más rápida que el sonido.

Cuando vemos la luz del rayo, el sonido recorrió d1=(1/3)D, entonces le falta recorrer d2=[1-(1/3)]D= (2/3)D. Esa distancia d2 que le falta recorrer desde que vimos el rayo es d2=Vs.t, ahora podemos igualar las dos expresiones y despejar D:
Vs.t=(2/3)D entonces D=(3/2)Vs.t
El cálculo sin números
Ahora hacemos lo mismo pero algebraicamente, a ver a qué llegamos:
Cuando vemos la luz del rayo, el sonido recorrió la fracción d1=Vs/Vl de D (antes era 1/3 de D), y le falta recorrer entonces d2=[1-(Vs/Vl)] D (antes era [1-(1/3)]D=(2/3)D).
Y esa distancia d2 que le falta recorrer es, igual que antes, d2=Vs.t, ahora podemos igualar las expresiones de d1 y d2 y despejar D:
[1-(Vs/Vl)]D=Vs.t entonces D=Vs.t/[1-(Vs/Vl)]
Donde
Vl: velocidad de la luz en kilómetros por segundo
Volviendo al principio
Ponemos a prueba esa fórmula usando los valores reales: pero si la velocidad de la luz es la real, 300.000 km/s, el cociente Vs/Vl se hace prácticamente cero y queda, como era esperable D=Vs.t, recuperamos así la fórmula inicial.
Situación límite
Y ahora nos hacemos una pregunta, con la fórmula general a la vista ¿qué pasa si la velocidad de la luz es igual a la velocidad del sonido? Analicemos, pero con cuidado, tengamos presente el concepto de límite para no caer en una trampa por ansiosos:
Si las velocidades son iguales, entonces Vs/Vl=1 y el denominador 1-(Vs/Vl)=1-1 se hace cero. Ahora cuidado acá, en base a ese resultado no podemos decir que el cociente se hace infinito, porque si las velocidades son iguales la luz y el trueno llegan al mismo tiempo, entonces t=0, Vs.t=0, el numerador se hace cero y lo que nos queda es una indeterminación D=0/0. Lo cual es lógico, la matemática nos dice, a su manera que si la luz del rayo y el sonido del trueno llegan al mismo tiempo no podemos calcular nada.
Final desafiante
Lo que se hizo acá con el tema de los rayos y los truenos no es ni más ni menos que resolver problemas básicos de móviles en un escenario de movimientos rectilíneos y uniformes. Si sos amigo de vivir aventuras cinemáticas, y querés ir más lejos te dejo la inquietud, o el desafío: ¿qué pasaría, qué cambiaría en los cálculos que hicimos si vos, en lugar de estar parado, estás en movimiento, tanto alejándote como acercándote del sitio donde cayó el rayo?.