ALGEBRA: Ecuaciones

Problema
[Nivel:Intermedio]
Calcular la solución de la ecuación \( x \):
\( \cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } = \cfrac{3}{ \sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } } + \cfrac{4}{ \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3} } } \)
Solución
Recordando que:
\( \sqrt{ a \pm 2 \sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \)
Si:
\( \Bigg\{ \begin{matrix} x + y & = & a \\ xy & = & b \end{matrix} \)
Luego:
\( \sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } = \sqrt{x_{1}} - \sqrt{y_{1}} \)
Si:
\( \Bigg\{ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} & = & 7 \\ x_{1}y_{1} & = & 10 \end{matrix} \)
Vemos que 5 y 2 cumplen el sistema de ecuaciones.
Es decir:
\( \sqrt{ 7 - 2 \sqrt{10} } = \sqrt{5} - \sqrt{2} \quad ...(i) \)
Tambien tenemos:
\( \begin{matrix} \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} & = & \sqrt{ 8 + 2 \times 2 \sqrt{3}} \\ & = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{4} \sqrt{3}} \\ & = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{4 \times 3}} \\ \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} & = & \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{12}} \\ \end{matrix} \)
Luego:
\( \sqrt{ 8 + 2 \sqrt{12} } = \sqrt{x_{2}} + \sqrt{y_{2}} \)
Si:
\( \Bigg\{ \begin{matrix} x_{2} + y_{2} & = & 8 \\ x_{2}y_{2} & = & 12 \end{matrix} \)
Vemos que 6 y 2 cumplen el sistema de ecuaciones.
Es decir:
\( \sqrt{ 8 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{6} + \sqrt{2} \quad ...(ii) \)
Reemplazando \( (i) \) y \( (ii) \) en la ecuación que solicitan calcular:
\( \cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } = \underbrace{ \cfrac{3}{ \sqrt{5} - \sqrt{2} } }_{(*)} + \underbrace{ \cfrac{4}{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } }_{(**)} \quad (iii) \)
Multiplicando el numerador y denominador por \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \) en \( (*) \) y por \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \) en \( (**) \):
\( \begin{matrix} \cfrac{3}{ \sqrt{5} - \sqrt{2} } & = & \cfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) } \\ (*) & = & (\sqrt{5} + \sqrt{2}) \end{matrix} \)
\( \begin{matrix} \cfrac{4}{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } & = & \cfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{ (\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) } \\ (**) & = & (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \end{matrix} \)
Reemplazando en \( (iii) \):
\( \begin{matrix} \cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } & = & \sqrt{5} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2} & = & \sqrt{6} + \sqrt{5} \end{matrix} \)
Multiplicando el numerador y denominador por \( \sqrt{6} - \sqrt{5} \):
\( \begin{matrix} \cfrac{1}{ \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } } & = & \cfrac{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \\ & = & \cfrac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \end{matrix} \)
Luego:
\( \sqrt{ 11 - 2 \sqrt{x} } = \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
Si:
\( \Bigg\{ \begin{matrix} 6 + 5 & = & 11 & \\ 6(5) & = & x & = 30 \end{matrix} \)
ALGEBRA Problema 21