ALGEBRA: Fracciones

Problema
[Nivel:Intermedio]
Determine el valor de \( x \) si:
\( x = \cfrac{1 - \sqrt{2} }{ 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{2 \quad - \quad ...} } } } \)
Solución
Considerando:
\( x = \cfrac{1 - \sqrt{2} }{ \overbrace{2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{2 \quad - \quad ...} } }}^{y} } \)
es decir:
\( x = \cfrac{1 - \sqrt{2} }{ y } \quad ... (i) \)
Luego:
\( y = 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{ 2 - \cfrac{1}{2 - \quad ...} } } \)
La anterior expresión puede ser escrita:
\( y = 2 - \cfrac{1}{ y } \)
Simplificando la expresión:
\( \begin{matrix} & y & = & 2 - \cfrac{1}{ y } \\ \rightarrow & y^{2} & = & 2y - 1 \\ \rightarrow & 0 & = & y^{2} - 2y + 1 \\ \rightarrow & 0 & = & (y - 1)^{2} \\ \rightarrow & y & = & 1 \end{matrix} \)
Nota. La ecuación cuadratica anterior tiene dos soluciones, ambas son 1.
Reemplazando el valor de y en \( (i) \):
\( x = 1 - \sqrt{2} \)
ALGEBRA Problema 20