ALGEBRA: Mezclas

Problema
[Nivel: Básico]

En un cilindro se tiene 72 litros de mezcla de alcohol y agua en relación de 3 a 5 respectivamente, ¿Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que la relación sea de 8 a 9?
Solución 1:
Si asumimos que:
A: representa la cantidad de litros de alcohol que contiene el cilindro
H: representa la cantidad de litros de agua que contiene el cilindro.
Luego del enunciado:
... se tiene 72 litros de mezcla de alcohol y agua ...
es decir:
\( A + H = 72 \quad ...(i) \)
... de mezcla de alcohol y agua en relación de 3 a 5 respectivamente
es equivalente a:
\( \cfrac{A}{H} = \cfrac{3}{5} \quad ...(ii) \)
Recordando la propiedad:
\( \cfrac{a}{b} = \cfrac{c}{d} \\ \rightarrow \cfrac{a+b}{b} = \cfrac{c+d}{d} \)
Aplicando en \( (ii) \)
\( \cfrac{A+H}{H} = \cfrac{3+5}{5} \\ \rightarrow \cfrac{A+H}{H} = \cfrac{8}{5} \)
Considerando \( (i) \)
\( \cfrac{72}{H} = \cfrac{8}{5}\\ \rightarrow H = \cfrac{5(72)}{8} = 45 \)
Luego: ... Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que la relación sea de 8 a 9
Si: X: representa la cantidad de litros de alcohol a agregar para conseguir la nueva relación
\( \cfrac{A+X}{H} = \cfrac{8}{9} \quad ...(iii) \)
Recordando la propiedad:
\( \cfrac{a+b}{c} = \cfrac{a}{c} + \cfrac{b}{c} \\ \)
Aplicando en \( (iii) \)
\( \cfrac{A+X}{H} = \cfrac{A}{H}+\cfrac{X}{H} = \cfrac{8}{9} \)
Considerando \( (i) \) y que H vale 45
\( \cfrac{3}{5}+\cfrac{X}{H} = \cfrac{8}{9} \\ \rightarrow \cfrac{X}{H} = \cfrac{8}{9} - \cfrac{3}{5} \\ \rightarrow \cfrac{X}{H} = \cfrac{8(5)-3(9)}{5(9)} \\ \rightarrow \cfrac{X}{H} = \cfrac{8(5)-3(9)}{5(9)} \\ \rightarrow \cfrac{X}{45} = \cfrac{13}{45} \\ \rightarrow X = 13 \)
Solución 2:
Como el alcohol y agua estan en relación de 3 a 5 respectivamente podemos considerar que el alcohol es múltiplo de 3 y el agua múltiplo de 5, es decir juntos son múltiplo de 8.
Del enunciado se conoce que entre alcohol y agua suman 72 litros.
Dado que entre alcohol y agua son multiplo de 8, hay que buscar un factor que cuando se le multiplique a 8 se obtenga 72, obviamente el factor es 9.
Como el alcohol es multiplo de 3 entonces 3 multiplicado por el factor, que es 9, se obtiene 27.
Tambien se menciono que el agua es multiplo de 5, multiplicado por el factor se obtienen 45.
Del enunciado: ... Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que la relación sea de 8 a 9
Si: X: representa la cantidad de litros de alcohol a agregar para conseguir la nueva relación
\( \cfrac{A+X}{H} = \cfrac{8}{9} \)
Reemplazando la cantidad de agua y alcohol encontrados.
\( \cfrac{27+X}{45} = \cfrac{8}{9} \)
Se obtiene que X vale 13.