ALGEBRA: Números Complejos Demostración

ProblemaDemostrar: \begin{matrix} i^ {4n} & = & 1 \\ i^ {4n+1} & = & i \\ i^ {4n+2} & = & -1 \\ i^ {4n+3} & = & -i \end{matrix} Donde \( n \) es un número natural, es decir \( n = \left\lbrace 0,1,2,3,4,5,...\right\rbrace \) .

Sug. Calcular las potencias de i.
Solución
Calculando las potencias de i, obtenemos:
Para \( n = 0:\) .
\( i^ {0} = 1 \\ i^ {1} = i \\ \)
Para calcular el valor de \( i^ {2} \) recordemos la formula de Euler:
\( e^ {ix} = Cos{x} + iSen{x} \)
Si \( x = \frac{\pi}{2} \rightarrow e^ {i \frac{\pi}{2}} = Cos{ \frac{\pi}{2}} + iSen{ \frac{\pi}{2}} \rightarrow e^ {i \frac{\pi}{2}} = i \quad ...(\alpha) \)
Si \( x = \pi \rightarrow e^ {i {\pi}} = Cos{ \pi} + iSen{ \pi} \rightarrow e^ {i {\pi}} = -1 \quad ...(\beta) \)
Elevando al cuadrado \( (\alpha)\) y reemplazando \( (\beta)\) \( e^ {2i \frac{\pi}{2}} = i ^2 \rightarrow \quad e^ {i \pi} = i ^2 \rightarrow \quad i^2 = -1 \)
\( i^ {3} = i^ {1} i^ {2} \rightarrow i^ {3} = i^ {1} (-1) \rightarrow i^ {3} = - i \)
Para \( n = 1:\) .
\( i^ {4} = i^ {2} i^ {2} = (-1)(-1) = 1 \\ i^ {5} = i^ {4} i^ {1} = (1)(i) = i \\ i^ {6} = i^ {4} i^ {2} = (1)(-1) = -1 \\ i^ {7} = i^ {4} i^ {3} = (1)(-i) = -i \\ \)
Para \( n = 2:\) .
\( i^ {8} = i^ {4} i^ {4} = (1)(1) = 1 \\ i^ {9} = i^ {8} i^ {1} = (1)(i) = i \\ i^ {10} = i^ {8} i^ {2} = (1)(-1) = -1 \\ i^ {11} = i^ {8} i^ {3} = (1)(-i) = -i \\ \)
Es decir:
\begin{matrix} i^ {0} & = & 1 & , & i^ {1} & = & i & , & i^ {2} & = & -1 & , & i^ {3} & = & -i \\ i^ {4} & = & 1 & , & i^ {5} & = & i & , & i^ {6} & = & -1 & , & i^ {7} & = & -i \\ i^ {8} & = & 1 & , & i^ {9} & = & i & , & i^ {10} & = & -1 & , & i^ {11} & = & -i \end{matrix}
Según sus resultados podemos separarlos en 4 grupos.
En la 1ra columna vemos que el resultado de las potencias es 1, ademas los exponentes que afectan a i son 4,8,12,... es decir son múltiplos de 4: \( i^ {4n} = 1 \)
En la 2da columna tenemos que el resultado de las potencias es i, ademas los exponentes que afectan a i son ,1,5,9,13,... es decir son múltiplos de 4 más 1: \( i^ {4n+1} = i \)
En la 3ra columna vemos que el resultado de las potencias es -1, ademas los exponentes que afectan a i son 2,6,10,14,... es decir son múltiplos de 4 más 2: \( i^ {4n+2} = -1 \)
En la 4ta columna vemos que el resultado de las potencias es -i, ademas los exponentes que afectan a i son 3,7,11,15,... es decir son múltiplos de 4 más 3: \( i^ {4n+3} = -i\) Nota: No olvidar que n ≥ 0