ALGEBRA: Planteo de ecuaciones

Problema
La dirigencia de una selección del fultbol que participara en la Copa America para que los jugadores entrenen encontró dos terremos de forma rectangular de igual area. En el primer terreno el largo excede en \( 6 \) metros al ancho, en el segundo terreno el ancho es el doble y el largo disminuye en \( 8 \) metros respecto a las dimensiones del primer terreno. Si el entrenador de selección del fultbol solicitó que sus jugadores puedan correr la mayor distancia en el menor número de vueltas. ¿Qué terreno eligió la dirigencia de selección del fultbol que participara en la Copa America? ¿cual es el perimetro del terreno elegido?
Solución
Si asumimos que:
\( a_{1} \): ancho del primer terreno
\( l_{1} \): largo del primer terreno
\( a_{2} \): ancho del segundo terreno
\( l_{2} \): largo del segundo terreno
Del enunciado:
... primer terreno el largo excede en \( 6 \) metros al ancho ... : \( l_{1} = a_{1} + 6 \quad....( i )\)
... segundo terreno el ancho es el doble ... respecto a las dimensiones del primer terreno ... : \( a_{2} = 2a_{1} \quad....( ii )\)
... segundo terreno ... el largo disminuye en \( 8 \) metros respecto a las dimensiones del primer terreno ... : \( l_{2} = l_{1} - 8 \quad....( iii )\)
De \( ( i )\) y \( ( iii ) \):
\( l_{2} = (a_{1} + 6) - 8 \\ l_{2} = a_{1} - 2 \quad....( iv ) \)
es decir, tenemos:


Primer area = \( a_{1} (a_{1}+6) \)
Segunda area = \( 2a_{1} (a_{1}-2) \)
Dado que ambas areas son iguales:
\( a_{1} (a_{1}+6) = 2a_{1} (a_{1}-2) \\ \rightarrow a_{1}+6 = 2 (a_{1}-2) \rightarrow a_{1}+6 = 2a_{1} - 4 \rightarrow a_{1} = 10 \)
Reemplazando en \( ( i )\),\( ( ii )\) y \( ( iii ) \), tenemos:
\( l_{1} = 16 \)
\( a_{2} = 20 \)
\( l_{2} = 8 \)
Luego:
El perimetro del primer terreno es \( l_{1} + a_{1} = 26\) metros.
El perimetro del segundo terreno es \( l_{2} + a_{2} = 28\) metros
Del enunciado:
... solicitó que sus jugadores puedan correr la mayor distancia en el menor número de vueltas ... : es decir el perimetro del terreno donde entrenaran los jugadores del futbol debe ser el mas grande posible.
Por lo tanto la dirigencia de una selección del fultbol que participara en la Copa America eligirá el Segundo terreno para que entrenen los jugadores que participaran en la Copa America .