ALGEBRA: Planteo de ecuaciones

Problema
Un gamer compró cierto número de videojuegos de PlayStation por \( 240 \). Si hubíera comprado \( 4 \) videojuegos más por el mismo dinero, cada juego de PlayStation le hubiera costado \( 2 \) menos. ¿Cuántos videojuegos de PlayStation compró y a qué precio?.
Solución
PRIMERA FORMA
Si asumimos que:
\( p \): precio unitario de cada juego de PlayStation
\( n \): nùmero de videojuegos que compra
Del enunciado:
Un gamer compró cierto número de videojuegos de PlayStation por \( 240 \) ... : \( np = 240 \quad....( i )\)
... Si hubíera comprado \( 4 \) videojuegos más por el mismo dinero, cada juego de PlayStation le hubiera costado \( 2 \) menos ... : \( (p-2)(n+4) = 240 \quad....( ii ) \)
De \( ( i )\) y \( ( ii ) \):
\( np = (p-2)(n+4) = 240 \\ \rightarrow np = (p-2)(n+4) \\ \rightarrow \frac{p}{p-2} = \frac{n+4}{n} \quad....( iii ) \)
Recordando la propiedad:
\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \rightarrow \quad \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} \)
Aplicando en \( ( iii ) \)
\( \frac{p}{p-2} = \frac{n+4}{n} \rightarrow \frac{2}{p-2} = \frac{4}{n} \rightarrow \frac{1}{p-2} = \frac{2}{n} \rightarrow n = 2p-4 \quad....( iv ) \)
En estos casos primero vale dar valores a azar a las variables, considerando que \( p \) y \( n \) son números positivos y a la vez que cumplan con \( ( i ) \) y \( ( iv ) \); si no logramos hallar los valores al tantear entonces procederemos como en la SEGUNDA FORMA.
Por tanteo hallamos:
\( p = 12 \) y \( n = 20 \) ; cumplen con las 2 ecuaciones anteriores
El gamer pago 12 por cada juego de PlayStation y compró 20 videojuegos.
SEGUNDA FORMA
De \( ( i )\) y \( ( iv ) \):
\( p(2p-4)= 240 \\ \rightarrow p(p-2) = 120 \\ \rightarrow p^{2}- 2p = 120 \\ \rightarrow p^{2}- 2p - 120 = 0 \)
Factorizando:
\begin{matrix} p^{2} & - 2p & - 120 \\ p & & - 12 \\ p & & + 10 \end{matrix}
\( \rightarrow (p - 12)(p + 10) = 0 \)
Vemos que \( p \) toma dos valores uno positivo y otro negativo, dado que \( p \) denota el precio unitario del juego de PlayStation no puede ser un número negativo por ello se elige el número positivo, es decir \( p = 12\).
Reemplazando el valor de \( p \) en la ecuación \( (i) \) se tiene que la cantidad de videovideojuegos de PlayStation que compró el gamer fue de \( 20 \).