ALGEBRA: Probabilidades

Problema
Posterior al partido final de la Liga de Campeones (Champions League) se toman fotografias entre los jugadores del equipo ganador que acabaron jugando el partido y 3 miembros del cuerpo técnico, si las fotografias se toman en el cesped y en cada una de ellas entran 5 personas entre jugadores y personal del cuerpo técnico. ¿Cuántas fotografias habrán distintas en que entren 2 miembros del cuerpo técnico del equipo ganador de la Liga de Campeones (Champions League)?
Solución
Del enunciado:
... en cada una de ellas entran 5 personas entre jugadores y personal del cuerpo técnico ...
... en que entren 2 miembros del cuerpo técnico del equipo ganador de la Liga de Campeones ...
La foto estará conformada por 3 jugadores y 2 miembros del cuerpo tecnico.
\( \underbrace{|\quad|\quad | \quad|}_{jugadores}\underbrace{\quad|\quad |}_{tecnicos} \)
Si consideramos los siguientes elementos:
\( T_{1} \) : Representa al primer tecnico del equipo de futbol.
\( T_{2} \) : Representa al segundo tecnico del equipo de futbol.
\( T_{3} \) : Representa al tercer tecnico del equipo de futbol.
Ensayemos la forma en que pueden aparecer en la foto los miembros del cuerpo tecnico
\( \begin{matrix} |T_{1}|T_{2}| & \quad,\quad & |T_{2}|T_{1}| \\ |T_{1}|T_{3}| & \quad,\quad & |T_{3}|T_{1}| \\ |T_{2}|T_{3}| & \quad,\quad & |T_{3}|T_{2}| \\ \end{matrix} \)
Entonces tenemos 6 formas o grupos en los que pueden ir los tecnicos del equipo de futbol ganador en la foto.
Además por ejemplo en \( |T_{1}|T_{2}| \quad,\quad |T_{2}|T_{1}| \) se observa dos formas o grupos donde se repiten los elementos pero en distinto orden.
Sin embargo en este caso no es importante el orden en que vayan en la foto los tecnicos, es suficiente que solo aparezcan en la foto.
Es decir no importa si el tecnico en la foto sale de esta forma \( |T_{1}|T_{2}| \) o si sale asi \( |T_{2}|T_{1}| \), es suficiente tomar una sola forma o grupo.
Por lo tanto podemos indicar que hay 3 formas o grupos en los que los tecnicos del equipo ganador de la Liga de Campeones aparecen en la foto y es:
\( \begin{matrix} |T_{1}|T_{2}| \\ |T_{1}|T_{3}| \\ |T_{2}|T_{3}| \\ \end{matrix} \)
Lo anterior también se puede indicar del siguiente modo:
Se toman fotos a 2 miembros del cuerpo tecnico de un total de 3 miembros. ¿Cuántas fotos se tomarán?
Como no importa el orden de los elementos que forman el grupo y además que dos grupos no tengan los mismos elementos, entonces estamos hablando de una Combinación sin repetición.
... ¿Cuántas fotos se tomarán? es equivalente a decir cuantos grupos de dos elementos de un total de 3 elementos se formarán y esto es \( C_{3}^{2} \)
\( \begin{matrix} C_{3}^{2} & = & \cfrac{3!}{2!(3-2)!} \\ & = & \cfrac{3!}{2!1!} \\ & = & \cfrac{(3)2!}{2!1} \\ C_{3}^{2} & = & 3 \\ \end{matrix} \)
También de los 11 jugadores que acabaron el partido final de la Liga de Campeones (Champions League) se toman fotos de 3 de ellos, entonces se formarán grupos de 3 elementos de un total de 11 donde no importa el orden de los elementos que forman el grupo y además que dos grupos no tengan los mismos elementos, por tanto el número de grupos formados son \( C_{11}^{3} \)
\( \begin{matrix} C_{11}^{3} & = & \cfrac{11!}{3!(11-3)!} \\ & = & \cfrac{(11)(10)(9)8!}{3!8!} \\ & = & \cfrac{(11)(10)(9)}{3!} \\ & = & \cfrac{(11)(10)(9)}{(3)(2)} \\ C_{11}^{3} & = & 165 \end{matrix} \)
Luego tenemos que:
\( \underbrace{|\quad\quad|\quad\quad | \quad\quad|}_{jugadores\\ \textrm{#Grupos: } 165}\underbrace{\quad\quad|\quad\quad |}_{tecnicos\\ \textrm{#Grupos: } 3} \)
Dado que el grupo formado por los jugadores que ganaron la Liga de Campeones(Champions League) y el grupo de los miembros del cuerpo tecnico del equipo de futbol se unirán en un solo grupo.
La cantidad de grupos distintos de este nuevo grupo vendrá dado por la multiplicación de los grupos que lo conforman.
... ¿Cuántas fotografias habrán distintas en que entren 2 miembros del cuerpo técnico del equipo ganador de la Liga de Campeones (Champions League)?
\( \textrm{# Fotografias }= (165)(3) = 495 \)