ARITMETICA: Divisibilidad

Problema
[Nivel:Intermedio]
Si:
\( \sqrt[3]{\overline{abcd}} = \overline{md} \\ \overline{ab} + \overline{cd} = \dot{9}+ 1 \)
Calcular \( a \times b \times c \times d \) si ademas \( \overline{ab} - \overline{cd} \) es un cuadrado perfecto.
Solución
Tenemos:
\( \sqrt[3]{\overline{abcd}} = \overline{md} \\ \rightarrow \overline{abcd} = \overline{md}^{3} \quad ...(i) \)
En \( (i) \) vemos que el número \( \overline{md} \), cuya unidad es \( d \), al ser elevado al cubo se obtiene el número \( \overline{abcd} \) cuya unidad tambien es \( d \).

\( d \) \( d^3 \) \( d = \textrm{último digito de }d^3 \)

0 0 Si

1 1 Si

2 8 No

3 27 No

4 64 Si

5 125 Si

6 216 Si

7 343 No

8 512 No

9 729 Si

Es decir \( d \) puede ser 0,1,4,5,6,9.
Tambien \( \overline{abcd} \) al ser un número de 4 cifras podemos considerar:
\( \begin{matrix} 999 & < & \underbrace{\overline{abcd}}_{\overline{md}^{3}} & < & 10000 \\ 999 & < & \overline{md}^{3} & < & 10000 \\ \sqrt[3]{999} & < & \overline{md} & < & \sqrt[3]{10000} \\ 9 & < & \overline{md} & < & 22 \\ 10 & \leq & \overline{md} & \leq & 21 \end{matrix} \)
Luego de los valores que puede tomar \( d \) y \( \overline{md} \), podemos reducir más los valores que puede tomar \( \overline{md} \) que serán 10,11,14,15,16,19.
Por otro lado:
\( \begin{matrix} \overline{abcd} & = & \overline{ab00} + \overline{cd} \\ & = & \underbrace{100}_{\dot{9}+ 1}(\overline{ab}) + \overline{cd} \\ & = & (\dot{9}+ 1)(\overline{ab}) + \overline{cd} \\ & = & (\dot{9})(\overline{ab})+ (\overline{ab}) + \overline{cd} \\ \overline{abcd} & = & \dot{9}+ \overline{ab} + \overline{cd} \quad ...(ii) \end{matrix} \)
De las condiciones del problema sabemos que:
\( \overline{ab} + \overline{cd} = \dot{9}+ 1 \)
Reemplando en \( (ii) \)
\( \begin{matrix} \overline{abcd} & = & \dot{9}+ \underbrace{\overline{ab} + \overline{cd}}_{\dot{9}+ 1} \\ & = & \dot{9}+ \dot{9}+ 1 \\ \overline{abcd} & = & \dot{9}+ 1 \quad ... (iii) \end{matrix} \)
Tambien consideremos:
\( \begin{matrix} \overline{md} & = & \overline{m0} + d \\ & = & \underbrace{10}_{\dot{9}+ 1}(m) + d \\ & = & (\dot{9}+ 1)(m) + d \\ & = & (\dot{9})(m)+ (1)(m) + d \\ \overline{md} & = & \dot{9}+ m + d \quad ...(iv) \end{matrix} \)
Además de \( (i) \) y considerando \( (iii) \) y \( (iv) \):
\( \begin{matrix} \overline{\underbrace{abcd}_{\dot{9}+ 1}} & = & \overline{\underbrace{md}_{\dot{9}+ m + d}}^{3} \\ \overline{\underbrace{abcd}_{\dot{9}+ 1}} & = & (\dot{9} + m + d)^{3} \\ \dot{9}+ 1 & = & \dot{9} + (m + d)^{3} \\ \dot{9} - \dot{9} + 1 & = & (m + d)^{3} \\ \dot{9} + 1 & = & (m + d)^{3} \quad ...(v) \\ \end{matrix} \)
Nota. Aqui se aplico la propiedad:
\( ( \dot{r} + s )^{k} = \dot{r} + s^k \)
Donde r,s,k son números naturales.
Teniendo en cuenta los posible valores de \( \overline{md} \) y \( (v) \) tenemos:

\( \overline{md} \) \( m + d \) \( (m + d)^3 \) \( \dot{9} + 1 \) \( \overline{md}^{3} = \overline{abcd} \)

10 1 1 Si 1000

11 2 8 No

14 5 125 No

15 6 216 No

16 7 343 Si 4096

19 10 1000 Si 6859

Por condición del problema \( \overline{ab} - \overline{cd} \) es un cuadrado perfecto, entonces.

\( \overline{md} \) \( \overline{md}^{3} = \overline{abcd} \) \( \overline{ab} - \overline{cd} \) \( \overline{ab} - \overline{cd} = x^{2} \)

10 1000 10 No

16 4096 -36 No

19 6859 9 Si

Por lo tanto los valorde de a,b,c,d respectivamente son 6,8,5,9 y su producto es 2160.
ARITMETICA Problema 21