Conjuntos Solución

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Entre los varones que llegaron en un aviòn internacional; 40 eran peruanos y 60 comerciantes.De los peruanos el 75% tenia bigotes y la mitad eran comerciantes, 5 de cada 6 comerciantes tenian bigotes.De los peruanos con bigotes la mitad eran comerciantes.Indique el número de peruanos o comerciantes con bigotes.

Solución:

Del enunciado se deduce 3 grupos los \(Peruanos(P)\), los \(Comerciantes(C)\) y los que tienen \(Bigote(B)\), estos tres grupos pueden ser representados de la siguiente forma.

Donde por ejemplo de la figura de abajo, el área de color amarillo representa a todos los Peruanos que son Comerciantes y que tienen Bigote.

También podemos decir que el área de color naranja son todos los Peruanos que son Comerciantes pero que No tienen Bigote.

Del enunciado:"40 eran peruanos y 60 comerciantes", tenemos:

Del gráfico anterior podemos ver que la cantidad de peruanos esta representado por las áreas de color amarillo, naranja, verde y marrón. Donde cada color representa un grupo particular, similar a lo visto en los ejemplos anteriores.
Sabemos que 40 son peruanos, luego del enunciado:"De los peruanos el 75% tenia bigotes", como obviamente el 75% de 40 es 30, ya que \(0.75\times40=30\), por lo tanto:"30 son peruanos y tienen bigotes", y estará representada por las regiones de color verde y marrón en el gráfico anterior.
Supongamos que la región verde esta representada por \(x\), por tanto la región marrón estará representada por \(30-x\), puesto que la región verde y marrón suman 30.

También se indica de los Peruanos que "y la mitad eran comerciantes", es decir \(20\) son peruanos y comerciantes, y estará representada por las regiones de color naranja y verde.
Por tanto la región naranja estará representada por \(20-x\), puesto que la región naranja y verde suman 20.

El enunciado también dice: 5 de cada 6 comerciantes tenian bigotes, si hay \(60\) comerciantes, entonces \(50\) son comerciantes y tienen bigotes, entonces:

Finalmente indican: De los peruanos con bigotes la mitad eran comerciantes, Los peruanos con bigotes esta representado por las regiones de color marrón y verde; además los peruanos con bigotes y que son comerciantes esta representado por la región verde.
Luego:
\( \cfrac{(30-x)+x}{2}=x \\ \rightarrow x = 15 \)
Entonces:

Luego el número de peruanos o comerciantes con bigotes estará representado por las áreas de color marrón, verde y plomo.