Cuadrilateros

Cuadriláteros

Que es un cuadrilátero, es una figura geométrica formada por cuatro lado, en este texto realizaremos un estudio riguroso sobre este objeto geométrico, se darán a relucir algunas definiciones, proposiciones y corolarios, las cuales serán justificadas a medida de que vallamos avanzando.

Definición de cuadrilátero

Un cuadrilátero es una figura geométrica formada por cuatro puntos no coloniales tres a tres; distintos entre sí, donde se cumple que para cada par de segmentos solo se intersectan en sus extremos y que ningún par de ellos, con extremos en común son coloniales.

Notemos además que un cuadrilátero está formado por cuatro vértices, cuatro Ángulos y cuatro lados, esta definición nos dice que un cuadrilátero debe formar ángulos opuestos dos a dos.

Observé que es necesario formar los segmentos de un cuadrilátero de tal manera que, el primer vértice se una con el segundo, el segundo con el tercero, el tercero con el cuarto y el cuarto con el primero, además los ángulos nombrados anteriormente son llamados ángulos interiores del cuadrilátero.

Igualdad de Cuadriláteros

Dos cuadriláteros son iguales si y solo si, sus vértices son iguales

Esta proposición nos da garantía de dos cosas, que si tenemos dos cuadriláteros iguales, entonces sus vértices van a ser iguales y su vez que si los vértices de un cuadrilátero son iguales, entonces los cuadriláteros van a ser iguales, en caso contrario bastaría con negar alguna de las dos condicionales para darnos cuenta de que no habrá igualdad de cuadriláteros.

Veamos que podemos obtener de un cuadrilátero en términos de la siguiente figura

De la figura anterior, se tiene que el vértice A y B son consecutivos, ya que son extremos de un solo lado `AB`, de esto podemos deducir que dos vértices son opuestos si no son consecutivos, por ejemplo A y D no son consecutivos. Al igual que los vértices podemos decir que dos lados son consecutivos si tienen un extremo en común, y que son opuestos si no tienen extremos en común, por ejemplo el lado AC es opuesto a BD, de los ángulos podemos decir que son consecutivos, cuando tienen un lado en común; dos ángulos son opuestos si no son consecutivos. Ahora que se puede decir de un vértice y un ángulo bueno como se puede observar en la figura anterior, un vértice y un ángulo no son consecutivos si el vértice no está en algunos de los lados del ángulo, por ejemplo A es opuesto al ángulo  <D.

Ahora daremos la definición de dos elementos de un cuadrilátero no menos importantes que nos ayudaran al estudio de nuestra teoría.

Definición de Perímetro y diagonal

• Una diagonal es un segmento formado por dos vértices no consecutivos
• El perímetro es la suma de los lados de un cuadrilátero

Como se puede observas en la figura anterior el vértice A y D forman una diagonal al igual que C y B, y que P=AB+AC+CD+DB donde P es el perímetro.

En matemática se habla mucho de cuando una forma geométrica es convexa, y cuando no lo es, en este texto no enfocaremos más en cuando un cuadrilátero es convexo y dejaremos a un lado cuando un cuadrilátero no es convexo.

Definición de Cuadrilátero Convexo

Un Cuadrilátero es convexo, si para cada par de vértices consecutivos ellos están del mismo lado del semiplano a la  recta conformada por el lado opuesto a ese lado.

Comprender esta definición puede ser un poco complicado, pero si nos fijamos en la figura propuesta anteriormente, tenemos que los vértices A y C están del mismo lado a la recta  BD, eso debe de cumplirse para cada uno de los casos determinados por ese cuadrilátero, podemos notar también que el lado AC es opuesto a BD por lo que se cumple la definición de cuadrilátero convexo.

De la definición de convexidad se pueden deducir muchos resultados los cuales serán nombrados en este párrafo y de aquí en adelante.

Podemos decir que cuando un cuadrilátero es convexo, cada uno de los vértices  está en el interior de su ángulo opuesto, al igual que se puede deducir que sus diagonales cortan en los puntos interiores de ambas y que los que no están sobre la diagonal, están de lados opuestos de la recta que contiene dicha diagonal.

En triángulos existe un resultado que nos garantiza que las medidas de los ángulos interiores de un triángulos es 180, si observamos la siguiente figura podemos dar garantía de un resultado muy intuitivo de cuadrilátero, el cual viene relacionada con convexidad.

Se puede observar que al trazar una diagonal, se forman dos triángulos los cuales tienen como medida de ángulos interiores 180, entonces intuitivamente podemos dar garantía del siguiente resultado.

Proposición Medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero

Un cuadrilátero es convexo si, y solo si la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 360.

De cuadrilátero nacen diversos objetos que cumplen con algunas características en particular los cuales serán nombrados en las siguientes definiciones

Trapezoide: Es un cuadrilátero que tiene por lo menos dos lados paralelos

Observemos que un trapezoide es convexo ya que cumple con las definiciones mencionadas anteriormente.

 Trapecio: Contiene exactamente dos lados paralelos.

Paralelogramo: Sus pares de lados opuestos son paralelos.

De las definiciones anteriores podemos deducir lo siguiente, Que al trazar una diagonal por cualquiera de los vértices opuestos se forman dos triángulos congruentes. Además cuando tenemos un paralelogramo obtenemos que los lados opuestos son iguales y que sus diagonales de bisecan, al igual se pude decir que sus lados son paralelos y tienen la misma medida, de igual forma cuando hablamos de los ángulos de un paralelogramo, tenemos que sus ángulos opuestos son congruentes y que los ángulos consecutivos son complementarios.

Rombo: Es un cuadrilátero con todos sus lados iguales.

Rectángulo: Todos sus ángulos interiores son rectos.

Cuadrado: es rombo y rectángulo.

De las definiciones nombradas anteriormente de deducen muchas cosas, cuando se tiene un rectángulo obtenemos que, es paralelogramo y posee un ángulo recto, y que al trazar diagonales se obtiene que su medidas son iguales. De un rumbo se tiene que sus diagonales se bisecan y son perpendiculares.

Para concluir el estudio de cuadriláteros daremos una definición más que nos dará garantía de cuando dos cuadriláteros tienen la misma forma y el mismo tamaño en otras palabras determinaremos cuando dos cuadriláteros son congruentes.

Definición Congruencia de cuadriláteros.

Dos cuadriláteros son congruentes si existe una correspondencia biunívoca entre los vértices, lados y ángulos de dichos cuadriláteros.