Desayuno con Matemáticas

PRIMERA PARTE
(Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.)
Zlatan Ibrahimovic está triste, muy triste. Ello se debe a que cree que tiene pocos amigos en su equipo. 
Cuando hace un repaso a sus compañeros de equipo, se da cuenta de que casi todos sus amigos tienen más amigos que él. Y no sólo en los entrenamientos o en el vestuario, sino que también tienen más seguidores y amigos en las redes sociales (Facebook, Twitter, Linkedin, Google+...). 
Se ha hecho el firme propósito de cambiar esta situación a lo largo de esta temporada, por lo que busca a alguien que le aconseje sobre qué tiene que hacer para conseguir más amistades. Así que queda con su compañero Thiago Silva para desayunar en Les Deux Magots y hablar sobre el tema.
Hace un día espléndido en París, y ambos se sientan en la terraza para tomar un magnífico desayuno. Zlatan le plantea el problema a Thiago:
Mis amigos son mucho más populares que yo. Me he dado cuenta de que tienen más amigos, y me gustaría hacer algo para tener tantas amistades como ellos.
Thiago Silva le responde de la siguiente forma:
No deberías preocuparte por lo que me dices. Es algo muy habitual, que no tiene nada que ver contigo. Se trata de un problema estrictamente matemático. 
¿Crees tú también que la culpa es de las Matemáticas? Piénsalo un momento, y pasa a ver la solución en la segunda parte.

SEGUNDA PARTE
Pues como bien dice Thiago Silva, se trata de un simple problema matemático, y no de otra índole. Veamos la explicación que le da Thiago a Ibra:
¿Conoces la paradoja de la amistad?  Según ella, lo más probable es que tus amigos tengan más amigos que tú…
Bueno, alguna vez he oído que las personas normalmente tendemos a hacernos amigos de aquellas personas que tienen muchos amigos, y en menor medida de las que tienen pocos amigos...
Sí, eso lo dijo el psicólogo Satoshi Kanazawa: la gente suele establecer amistad más frecuentemente con personas que tienen muchos amigos que con aquellas otras que tienen pocos. Aunque no se trata de eso exactamente, sino que más bien deberíamos fijarnos en los estudios del sociólogo Feld.
¿Este Feld es el que descubrió la paradoja de la amistad?
Sí. En realidad, la paradoja de la amistad de Feld es una propiedad de la Teoría de Grafos, por la cual se establece que es muy probable que nuestros amigos tengan más amigos de los que tenemos nosotros…
¿Cómo es posible?
Thiago coge una libreta y comienza a poner sobre el papel las relaciones de amistad de Ibra.
Vamos a verlo de forma gráfica. Escribiremos en este papel los 11 jugadores que normalmente son titulares en el equipo (lista de la derecha).
Ahora vamos a representar gráficamente las relaciones de amistad entre ellos. A los jugadores los identificaremos con un círculo azul (vértices), y pondremos dentro del círculo el número de su dorsal. A los que sean amigos, los uniremos mediante una línea roja (aristas).
Y al lado de cada jugador contaremos el número de amigos que tiene (líneas rojas) y lo escribiremos en color lila. De esta forma podemos ver gráficamente todas las relaciones de amistad existentes en el equipo.

Como puedes ver, tú eres el círculo azul con el número 10 dentro de él. De ti parten 3 líneas rojas, que van hacia tus 3 amigos: Pastore (27), Lucas (29) y Lavezzi (22). Y por eso he escrito un 3 de color lila al lado de tu círculo, porque tienes 3 amigos.

Ahora, a partir de este gráfico, vamos a confeccionar una tabla del siguiente modo. En la línea correspondiente a cada jugador apuntaremos, en las casillas donde se cruza su fila con las columnas de sus amigos, el número de amigos que tienen éstos. En la tabla de la derecha, en la primera columna pondremos el total de amigos (relaciones o líneas rojas) que tiene cada jugador. En la segunda columna sumaremos todos los amigos de sus amigos. Y en la tercera columna calcularemos la media de los amigos de sus amigos, dividiendo la suma de amigos de los amigos entre el número de amigos.

Vamos primero contigo, Ibra, que eres el número 10. Fíjate en la fila del 10: tienes 3 amigos, que son Lavezzi (22), Lucas (29) y Pastore (27). Lavezzi (22) tiene 3 amigos, así que hemos colocado un 3 en la casilla que cruza tu fila 10 con la columna 22. Lucas (29) tiene 7 amigos, así que escribimos un 7 en la casilla que cruza tu fila 10 con su columna 29. Y Pastore (27) tiene 2 amigos, así que hemos escrito un 2 en al casilla correspondiente.

Pues así procedemos con todos los jugadores, y vemos qué ocurre en la tabla de la derecha.

Si nos fijamos en cuántos jugadores tienen más amigos que la media de sus amigos, vemos en color rojo que, sorprendentemente, sólo hay 3 jugadores (23, 2 y 29) que tienen más amigos que la media de sus amigos (el número de la primera columna es mayor que el de la tercera), y los 8 restantes tienen menos amigos que la media de sus amigos. Y como podemos comprobar, la media total de amigos 
42 / 11 = 3,82 

es bastante inferior que la media total de los amigos de los amigos:

182 / 42 = 4,33

¿Y por qué ocurre esto?
Esto tiene que ver con las propiedades de la media geométrica y de la varianza estadística. Vamos a coger otro papel, y esta vez nos centraremos tan solo en las relaciones de amistad que tienen entre los 4 defensas.

Vemos que Van der Wiel (23) tiene 2 amigos, Jallet (26) tiene 2 amigos, Maxwell (17) tiene sólo un amigo, y yo, Thiago (2), tengo 3 amigos.

Calculamos la media de amigos que tienen los defensas: (3+2+2+1)/4 = 2. Comprobamos que los defensas en general tienen 2 amigos de media cada uno.

Ahora vamos a calcular la media de amigos de los amigos que tienen los defensas. Van der Wiel (23) tiene dos amigos, que tienen 2 y 3 amigos, respectivamente. Jallet (26) tiene dos amigos, los cuales tienen 2 y 3 amigos. Maxwell (17) tiene un amigo, que tiene 3 amigos. Y yo (2) tengo tres amigos, con 2, 2 y 1 amigo, respectivamente.

Así, tenemos los siguientes datos:

2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3. 
Los reordenamos así:
3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1
Y calculamos la media:
(3+3+3 + 2+2 + 2+2 + 1) / 8 = (3·3 + 2·2 + 2·2 + 1·1) / 8 =(3² + 2² + 2² + 1²) / 8 = 2,25
Vemos cómo también, de forma aparentemente sorprendente, la media de amigos de los amigos de los defensas es 2,25, superior a la media de amigos de los defensas que calculamos antes, y que era 2.
Pues es verdad. ¿Y esto ocurre siempre?
Sí, siempre. Salvo que todos tengan el mismo número de amigos. En ese caso las dos medias son iguales.
¿Y por qué sucede esto?
Bueno, si te das cuenta, cuando he calculado la media de amigos de los amigos, he reordenado de una forma especial los datos que teníamos.
2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3   →   3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1
Sí, me he fijado. ¿Por qué lo has hecho?
Lo he hecho para que te dieras cuenta de lo siguiente: las personas que tienen muchos amigos las incorporamos dentro de la suma muchas veces, de hecho, tantas veces como amigos tienen (3 veces el número 3), mientras que las personas que tienen pocos amigos las incluimos en menor medida (1 vez el número 1). Ello significa que dentro de la media, tienen mayor peso aquellas personas que tienen más amigos (3+3+3+2+2+2+2+1), y por eso la media global sube.Sin embargo, en la media de los amigos, sólo las sumamos una vez (3+2+2+1), esto es, tienen el mismo peso tanto las que tienen muchos amigos como las que tienen pocos.
Creo que ya lo entiendo, pero no acabo de estar seguro de que una media tenga que ser mayor que la otra por ese motivo.
Bueno, pues vayamos entonces a la demostración matemática.

Llamemos x_i al número de amigos del jugador i, y μ a la media de amigos de los n jugadores del equipo, que será igual a:

Ahora vamos a ver cómo calculamos la media de los amigos de los jugadores.  Ya hemos visto con el ejemplo de los defensas a qué corresponde la suma de los amigos de los amigos, concretamente a ∑(x_i²), y que el número total de amistades entre ellos es ∑x_i. Por lo que la media de los amigos de los amigos, a la que vamos a llamar μ' será:Nos queda por averiguar si μ es mayor, menor o igual que μ'.

Para eso vamos a utilizar la fórmula de la varianza estadística (σ²). Sabemos que:

De ahí se deduce que:
Dividimos por ∑(x_i) ambos términos y nos queda:

Así que:
O lo que es lo mismo: μ' = μ + un valor que ha de ser mayor o igual que cero, ya que la varianza estadística es siempre positiva, y la media de amigos también lo es.
Por tanto, en un grupo la media de los amigos de los amigos siempre será mayor o igual que la media de los amigos.Bien, con esta explicación matemática definitivamente me has convencido. ¿Y todos estos estudios sirven para algo más que para que la gente no se deprima por tener menos amigos que sus amigos?
Bueno, esto tiene múltiples aplicaciones en otros muchos ámbitos de la vida. Por ejemplo, se utiliza para el control de enfermedades. Así, a nosotros nos realizan de forma periódica controles de sangre para saber si tenemos alguna enfermedad contagiosa. Para ello, cada mes el club escoge al azar a 5 jugadores, y les realiza distintos análisis. ¿A que ahora se te ocurre una forma mejor de realizar estos controles?
Creo que sí...
Efectivamente, deberían escoger 5 jugadores al azar, y que luego estos les indicasen el nombre de sus amigos. Como estos jugadores seguro que tienen una media de amigos superior a la de los jugadores elegidos inicialmente, también tendrán una probabilidad mucho mayor de estar infectados, ya que al tener más amistades están más expuestos al contagio. De esta forma conseguimos una muestra de jugadores más significativa que si la seleccionamos al azar.
Justo lo que estaba pensando. 
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Esta es la forma en la que se realizan ciertos controles sanitarios en colegios, hospitales, residencias de mayores, etc. Otra aplicación es para que cuando alguien vaya a un gimnasio no se desmoralice porque vea que la mayoría de la gente está en mejor forma que él... Esto no nos ocurre a nosotros, ¿verdad, Ibra? En este caso lo que deben pensar es que, cuando echan un vistazo a la gente que está en el gimnasio, la muestra que están extrayendo está sesgada, ya que lo más probable es que la gente que vean son aquellos que pasan más horas allí y que, por tanto, están en mejor condición física.
También podemos utilizar este tipo de muestra para otras cosas. Así, es una técnica muy útil para los niños que coleccionan cromos de futbolistas como nosotros. Pueden aplicar la paradoja de la amistad para completar mejor un álbum. Normalmente, cuando tienen cromos repetidos intentan cambiarlos entre sus amigos. Pero así casi nunca completan su colección.

Es mejor que en el recreo se acerquen a unos cuantos niños elegidos al azar y les pidan que les presenten a sus amigos, porque así conseguirán intercambiar sus cromos con los niños más populares del colegio que, al tener más contactos, tienen más probabilidades de tener esos cromos que les faltan. Aunque deberán tener cuidado cuando intercambien los cromos, ya que correrán un serio riesgo de contagio...
Y así puedes entender también por qué cuando vamos de vacaciones a la playa, nos encontramos que normalmente suelen estar bastante abarrotadas. ¿Dónde están esas playas paradisíacas y desiertas que aparecen en los catálogos de viajes? Una vez más, hay muchas probabilidades de que la playa a la que vamos esté llena de gente, y muy pocas de que esté prácticamente desierta, debido a esta paradoja.
O también se explica por qué la mayor parte de los acertantes de las quinielas deportivas muy probablemente tienen que compartir su premio con otros acertantes.
Entonces, no debo preocuparme por tener tan pocos amigos,  ¿no?
En absoluto. Ya ves que ocurre en todas partes. No solo en el Paris Saint Germain, sino en todos los equipos: en el Real Madrid, AC Milán, Manchester United, L.A. Galaxy, Santos, FC Barcelona... Y le ocurre a casi todos los jugadores: Cristiano Ronaldo, Neymar, Falcao, Messi...
¿De verdad? -pregunta Ibra esbozando una tímida sonrisa-. Creo que después de estas explicaciones, y a la vista de lo tarde que se nos ha hecho, bien merece que te invite a comer a un restaurante que conozco...
Sí, pero antes apunta estos enlaces, por si estás interesado en conocer más sobre el tema de la paradoja de la amistad: 'Yo quiero tener 42 amigos' de Clara Grima y Raquel García, o 'La paradoja matemática de forever alone' de Ciencia Explicada.