El Filtro de Hodrick-Prescott. Método de suavización de la Tendencia Cíclica.

El concepto de filtro viene de las matematicas y se aplican al tratamiento de las series. El Dr. Roberth Hodrick y el Dr. Edward Prescott, ambos economistas, este último galardonado con el premio Nobel de Economía, desarrollaron el filtro para suavizar las series ciclicas, desde el Banco de Reserva Federal de Minneapolis.
Un filtro, es un elemento que tiene un modulo de entrada, un modulo de proceso y un modulo de salida. El modulo de Salida representa a una nueva variable, relacionada linealmente con la variable de la entrada, acondicionada por el proceso de filtrado. Este concepto se utiliza también en el procesamiento de variables utilizadas en la ingeniería, donde se tienen variables ciclicas (en serie).
La idea central de un filtro es separar una parte importante de la información que contiene un conjunto de datos, los datos vienen afectados por condiciones aleatorias e indeseadas, que se incluyen en la data, pero que no son relevantes para el ciclo de los mismos.
Los filtros pueden ser no recursivos  y recursivos. En el primer caso, los filtros no recursivos, no incluyen a la misma varible en su desarrollo, tienen la forma siguiente:
$ Y(t)= \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k u_{t-k} $
Cuando se trata de filtros seriales recursivos la forma común es:
$ Y(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k u_{t-k} + \sum_{k=-\infty}^{\infty} d_k Y_{t-k} $
nótese que en este caso, el filtro lleva de manera recursiva la misma variable, dentro de la expresión.
Los doctores Hodrick y Prescott empiezan con la separación de componentes de la variable temporal:
$ y_t = \bar{y}_t + c_t $
Luego se necesita formar un modelo para minimizar:
$ M(\lambda)= F + \lambda*S $
Pero si la idea es calcular los datos que corresponden a una tendencia, entonces estadisticamente aplicamos el concepto de los mínimos cuadrados, calculando las distancias de cada dato a la tendencia y minimizando el conjunto para acercarnos  lo mas posible que podamos a la tendencia.
entonces se tiene:
$ \sum_{t=1}^{T}(x_t + s_t)^2 +  \lambda * \sum_{t=2}^{T-1} ((s_{t+1} - s_t)-(s_t - s_{t-1}))^2 $
El parámetro $\lambda$ verifica la tendencia de la serie. Cuando $\lambda$ se aproxima a 0, se enfatiza en la serie la fidelidad de los datos y si $\lambda$ tiende al infinito, se enfatiza en la suavidad de la serie, de otra manera,  Si $\lambda$ es muy chico se muestra mucha regularidad entre la serie original y la tendencia, si es muy grande, la tendencia se aproxima a una linea recta.
Los doctores Hodrick y Prescott, minimizan el problema como sigue:
$  min  \sum_{t=1}^{T}(x_t + s_t)^2 +  \lambda * \sum_{t=2}^{T-1} ((s_{t+1} - s_t)-(s_t - s_{t-1}))^2 $
donde se cumple que:
$ x_t = s_t + c_t $
Aquí podemos utilizar el método de los minimos cuadrados y formar un arreglo matricial:
$ \widehat{S} = M^{-1} X $   donde  $ M^{-1} = I + \lambda K^{`} K $,   "I" es la matriz identidad.
Por consideraciones de espacio no podemos desarrollar toda la matriz, sin embargo hay programas como los abajo listados para desarrollarlos y aplicaciones que listaremos a continuación:
ftp://cemfi-server.cemfi.es/mt/99/t9910.pdf‎ www.bcrp.gob.pe/docs/...de.../2003/Documento-Trabajo-03-2003.pdf‎ www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/.../Victor_Guerrero.pdf www.mathworks.com/.../hodrick-prescott-filter.html‎