El mito de Arquímedes y la corona de oro

La leyenda cuenta que el Rey Hierón II de Siracusa (aprox. 306-215 a. C.) había mandado a fabricar una corona de oro, para la cual entregó un lingote a un orfebre. Cuando el trabajo concluyó, le fue devuelta, y si bien pesaba exactamente lo mismo que el lingote que había entregado, Hierón comenzó a dudar de si el orfebre había sido deshonesto y había reemplazado parte del oro por algún material más económico.
(siempre con énfasis en la palabra leyenda)
Hierón encargó a Arquímedes (aprox. 287 – 212 a. C.), por ser un inventor, matemático, físico e ingeniero de la época a que resolviera el problema. Claramente la corona no podía ser cortada en trozos, fundida, ni nada parecido, por lo que había que buscar otra manera. Arquímedes sabía que el oro un metal extremadamente pesado (un litro de oro pesa 19,3 Kg), y que cualquier otro metal que hubiese utilizado debería ser más liviano (una misma medida de plata pesaría 10,49, y de plomo, 11,34 Kg). Esto significaba que si se hubiese utilizado otro material, la corona debería tener un volumen mayor. En ese momento se sabía calcular el volumen de un cuerpo geométrico, pero una corona es totalmente irregular como para realizar un cálculo preciso, y nuevamente, la posibilidad de fundir la corona dentro de un recipiente regular, no existía (si el genio en cuestión quería conservar su vida por lo menos).
Continuando con la leyenda, en una ocasión, Arquímedes se fue a tomar un baño en una bañadera que estaba llena hasta el borde. Comenzó a sumergirse de a poco, a la vez que notaba cómo el agua se volcaba. Y en una explosión de lucidez, notó que el volumen de agua que se volcaba tenía que ser similar al volumen de su cuerpo que se iba sumergiendo. Debido a la emoción, gritó el famoso y épico ¡Eureka! ("εὕρηκα", en griego antiguo, "¡Lo he encontrado!") y salió corriendo desnudo por las calles de Siracusa.
Finalmente, comprobó mediante otros experimentos que efectivamente el volumen de un cuerpo sumergido es similar al del líquido que desplaza (todo científico serio comprueba varias veces y de forma empírica sus ideas). Realizó el experimento con la corona y un lingote de oro de igual masa, y notó que la corona desplazaba más agua, por lo que el orfebre había reemplazado parte del oro por otro material, y eso le costó la cabeza.
Detrás de la Leyenda
Muy bien, esa es la famosa leyenda de Arquímedes que ilustra de manera extremadamente sencilla el surgimiento de las ideas y algo de método científico, y esboza el surgimiento del Principio de Arquímedes. Pero ¿qué problemas tiene esta historia?
Primero, esta anécdota no figura en ningún escrito conocido de Aristóteles. La primera referencia al mismo aparece unos 230 años después, en un relato del escritor romano Vitruvius (un libro arquitectura e ingeniería llamado De Arquitectura). Por lo que en este punto ya podemos desconfiar de que realmente haya sucedido todo esto.
Segundo, no explica mucho sobre el principio de Arquímedes, que se supone quiere explicar:

Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja.

La corona de oro más grande que se ha encontrado de los tiempos de Aristóteles, mide unos 18,5 centímetros y pesa 714 gramos. Y no era precisamente una corona, sino más bien un ramo de laureles. De todas formas, pensemos que mucho más peso para llevar sobre la cabeza resultaría incómodo, ridículo o peligroso, por lo que sería bastante improbable.
Aun así, y para simplificar los cálculos, asumamos que la corona pesaba 1000 gramos. Esa cantidad de oro, debido a su gran densidad sería de 51,8 centímetros cúbicos. El recipiente, por razones obvias, tiene que ser mayor que la corona. Supongamos que es redondo, y mide 20 centímetros. Esa corona, sumergida en este recipiente, desplazaría sólo 1,65 milímetros (algo que de por sí, está muy cerca del "ancho" de la "panza" que forma el agua por la tensión superficial).
En el hipotético caso de que el orfebre hubiese reemplazado un 30% del oro por plata (algo que ya es mucho), habría tenido una corona ligeramente más grande, de 64,8 centímetros cúbicos. Volumen que, sumergido en el mismo recipiente, habría desplazado 2,06 milímetros. Comparando a ojo, o incluso con instrumentos de precisión sería muy difícil notar una diferencia del nivel del agua de 0,41 milímetros. Además, estaríamos asumiendo que la corona es perfectamente sólida, y que no sólo no hubo salpicaduras de agua, sino que la fundición del oro no dejó ninguna burbuja de aire en su interior. (fuente) Considerando todo esto, se me ocurren cuatro posibilidades:
1) Arquímedes notó esa diferencia de medio milímetro del nivel del agua en un recipiente que ni siquiera era transparente, pero el orfebre fue honesto, y el oro tenía alguna burbuja en su interior, se salpicó agua, observó mal o algún error así.
2) Arquímedes notó esa diferencia, y el orfebre era un verdadero estafador (esta sería la versión oficial, y dadas las circunstancias, me parece la más improbable).
3) Arquímedes no notó la diferencia, pero estaba muy empeñado en comprobar su teoría frente al Rey.
4) Arquímedes nunca usó esta técnica para comparar las coronas.
Galileo tras el mito

En el siglo XVI, Galileo Galilei se hizo estas mismas preguntas, y se inclinó más por la idea de que si realmente sucedió, el experimento tiene que haber sido otra forma, aunque contradiga los únicos registros conocidos.
En 1586, a sus 22 años, publicó el artículo La Bilancetta, en el que describía lo que se puede resumir en la imagen de la derecha.
Básicamente, si tenemos la corona de un lado de una varilla y el bloque de oro del otro, haciendo equilibrio (y despreciando la influencia del aire), cuando lo sumerjamos en un líquido (agua), los dos objetos desplazarán un volumen de agua diferente, por lo que recibirán un empuje desde abajo con diferentes valores, haciendo que la corona "flote más".
Teniendo en cuenta que comparar la cantidad de líquido desplazado es casi imposible con este tipo de instrumentos, y para tan poca diferencia, lo más probable es que Vitruvius haya recogido un rumor erróneo. Incluso, tendría más sentido que Aristóteles haya realizado este otro experimento ya que aquí se aplica la idea de empuje hidrostático, que se explica en el principio que lleva su nombre.
Es posible que hayan tenido que pasar unos diesiciete siglos para poner aquella anécdota en orden. Y aun así, resulta un tanto decepcionante que nunca sabremos realmente qué pasó, o si pasó.
Me llevó un tiempo rastrear las fuentes más correctas posibles, ya que parece ser una de las anécdotas más repetidas en cada blog o sitio web de universidades. De todas formas, la inspiración surgió del artículo publicado en Recuerdos de Pandora (blog que por cierto, recomiendo mucho).
El grabado que ilustra el artículo fue creado por Peter Flötner y publicado en 1548. Difícilmente el baño de Aristóteles haya estado lleno de esferas y coronas, pero igual resulta interesante. Clic sobre él para verlo en grande.