El problema de las taquillas

Mientras juegan el partido de fútbol, a los jugadores les han cambiado las taquillas de sitio. ¿Conseguirán dar con sus taquillas a la primera? Un nuevo reto de probabilidades para Pepe Vitruvio.
(Esta entrada participa en la Edición 7.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog La aventura de la ciencia)
PRIMERA PARTE
Una vez disputada la final del mundial de clubes entre el FC Barcelona y el River Plate, al presidente del Yokohama FC, organizador del torneo, se le presenta un dilema.
Los equipos finalistas le han regalado sendos balones de recuerdo, agradeciéndole la magnífica organización del torneo, para que los exhiba en el museo del estadio. El problema es que no sabe de quién es cada balón.

Curiosamente, entre los visitantes del museo se encuentra hoy Pepe Vitruvio, así que le ha solicitado su ayuda para este asunto.
- Qué es lo que ocurre?
- Como puedes ver, tanto el FC Barcelona como el River Plate nos han regalado dos balones con los que disputaron la final del mundial. El problema es que no sabemos qué balón corresponde a cada equipo, ya que su dedicatoria es muy parecida: nos agradecen la excelente organización.

- ¿Has probado a preguntarles cuál es el balón que ha firmado cada equipo?
- Sí, hablé con los capitanes, pero no me quisieron aclarar la duda.
- Y, ¿qué quieres que haga yo?
- Bueno, me han contado que eres muy bueno resolviendo este tipo de casos, así que he pensado que quizás nos podrías echar una mano.
- No veo de qué forma. ¿No han escrito nada más en los balones?

- Sí, en uno de ellos han escrito un cero, y en el otro han puesto 1/3. Si hubiesen anotado un cero y un 3, no lo dudaría, ya que el resultado fue de 3 goles a 0 a favor del Barcelona. Pero como han apuntado 1/3 en vez de 3, no sé qué hacer. He pensado que quizás tú me puedas ayudar.
- Pues la verdad es que no veo la forma de relacionar dichas cifras con los dos equipos. Además, si te has fijado, delante de ambos números hay un símbolo matemático que significa que es un valor aproximado, lo cual me intriga aún más.



SEGUNDA PARTE
- No nos va a quedar más remedio que exponer los balones sin identificarlos. Creo que, en realidad, se trata de una pequeña venganza por la broma que les gastamos con las taquillas...
- ¿Qué broma fue esa?
- Bueno. Mientras disputaban el encuentro, movimos todas las taquillas de sitio durante un buen rato, hasta que quedaron totalmente desordenadas. Además, no había forma de distinguir una de otra por fuera. Más o menos lo que nos sucede ahora con los balones.

- Y qué ocurrió.
- Pues algo realmente asombroso. Cuando los jugadores del River Plate regresaron a su vestuario,  sin conocer lo que habíamos hecho, se dirigieron a las taquillas donde habían guardado su ropa, y todos ellos acertaron con la taquilla correcta al primer intento. Sin embargo, con los jugadores del Barça, ocurrió justo lo contrario, ninguno de ellos acertó con su taquilla.
- Creo que ahí puede estar la solución a tu problema.
- No lo entiendo.
- Veamos, como ya has señalado, lo que ocurrió con los jugadores del River Plate fue algo extraordinario. La probabilidad de que todos ellos acierten con su taquilla es realmente mínima, cercana al 0%.
- Y lo mismo ocurrirá con los del Barça, ¿no? La probabilidad de que ninguno de ellos acierte con su taquilla también debe ser muy pequeña.
- Sí, aunque no es tan pequeña como piensas. Este caso se conoce como el caso del guardarropa, o de los sombreros de Euler. El problema original consistía en un guardarropa de un teatro, en el que los asistentes iban depositando sus sombreros, y el encargado, al término de la función, los entregaba de forma aleatoria.
La cuestión radica en calcular la probabilidad de que ninguna persona se lleve su sombrero, o de que haya 3 personas que sí se lleven el suyo, o de que el encargado acierte con todos ellos.
- Eso debe ser complicado de calcular, ¿no?
- Bueno, para Euler fue bastante sencillo. En un principio, toda probabilidad la obtenemos dividiendo los casos favorables entre los casos posibles.
Los casos posibles son fáciles de calcular: se trata de las permutaciones de 20 elementos, en este caso, 20 taquillas:

El lío viene a la hora de calcular los casos favorables (Fn).
- Y ¿cómo se hace?
- Si queremos calcular la probabilidad de que ninguno de ellos acierte con su taquilla, deberemos restar al número total de permutaciones obtenido (20!), todas las permutaciones en las que alguna taquilla queda en su sitio inicial. Supongamos que la primera taquilla ha quedado en su sitio. Entonces, habrá que calcular las permutaciones de las otras 19 taquillas:

Y como cualquiera de las 20 taquillas puede ser la que haya permanecido en su lugar, no solo la primera, entonces tendremos un total de 20 · 19! casos a restar de las permutaciones posibles:

- Pero, me parece que hemos restado casos de más. Así, si 2 taquillas están en su sitio inicial, las habremos restado dos veces: cuando calculábamos las permutaciones quedando fija la primera taquilla, y cuando calculábamos las permutaciones quedando fija la segunda casilla.
- Correcto. Al número de casos que habíamos obtenido, para compensar esa doble resta, deberíamos sumar las permutaciones en las que haya dos taquillas que estén en su lugar, da igual cuáles sean y el orden en que las tomemos. Las 18 taquillas restantes generarán un número de permutaciones que será 18!, Como hay C(20,2) combinaciones distintas de escoger las dos taquillas que coinciden entre el total de 20, tendremos que sumar, a la cantidad que habíamos obtenido, C(20,2) · 18! casos de ordenar las taquillas, en las que hay dos taquillas que sí están en su sitio..

- Sí pero ahora, y por el mismo razonamiento que antes, habremos sumado varias veces, los casos en que haya tres taquillas en su lugar...
- Claro, ahora deberemos restar la cantidad de C(20,3) · 17! casos. Y así seguiremos hasta hallar la cifra exacta de casos en que ninguno acierta con su casilla, y que vendrá dado por la fórmula:

Y generalizando para n elementos:

Si dividimos el número de casos favorables (Fn) , que es lo que estamos calculando, por el número de casos posibles (n!), llegaremos a la fórmula general que nos indica la probabilidad de que en un conjunto de n elementos, haya k elementos que coincidan, y que quedará así:

Cuando el número de elementos tiene a infinito, esta probabilidad de que haya k taquillas que queden en su lugar tiende al valor de:

Si tenemos que k=20, esto es, que todos los jugadores aciertan su taquilla, o lo que es lo mismo, que todas las taquillas han quedado en su sitio inicial, como les ha ocurrido a los jugadores del River, entonces tenemos que la probabilidad es de 1/20! = 4,11·10^-19, esto es, prácticamente cero, como ya previmos.
Y si particularizamos el caso para k=0, esto es, que ninguno de los jugadores acierte su taquilla, o lo que es lo mismo, que ninguna taquilla haya quedado en su sitio, como les ha ocurrido a los jugadores del Barcelona, entonces tenemos que la probabilidad es de 1/e,
- ¡Vaya, el famoso número e!
- Como sabes, el número e fue descubierto por el escocés John Napier sobre el año 1600, y ampliamente estudiado por Leonhard Euler. ¿Recuerdas la historia de los banderines de Euler?
- Sí. Pero nadie ha escrito una e en ninguno de los dos balones.
- Lo que aquí verdaderamente nos importa es el valor de este número trascendente e irracional:
e ≈ 2,7182818284…
- Así que 1/e es aproximadamente 1/3…
- Por tanto, podemos determinar que el balón con el número ≈ 1/3 se corresponde con el que nos dedicaron los jugadores del Barça, y el del ≈ 0 se corresponde con el del River Plate.
- ¡Efectivamente!

- Pues muchas gracias por todo, Pepe. Ahora mismo voy a rotular los dos balones. Espero verte en la próxima edición del Mundial. ¡Y sabes que tienes reservado uno de los mejores palcos!
- Muchas gracias, Yasuhiko. ¡Hasta el próximo mundial!

Si te apetece profundizar más sobre los temas tratados en esta historia, puedes visitar cualquiera de estas estupendas páginas: El número e al desnudo: orígenes y curiosidades, El número e, Aprendiendo de Euler, El número de euler: aplicaciones y didáctica, Invitation to discrete Mathematics.
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