Funciones Bosquejo

Problema¿Cuales son las edades, en años, de tres amigos, si su suma es 72 y su producto resulta mayor que 13600? Al mayor de ellos le falta una pierna.Sug. Poner la edad de uno de ellos como constante de ahi calcular las otras edades.

Bosquejo
Supongamos que las edades de los amigos son: x,y,z.
De datos tenemos:
\( x + y + z = 72 \quad...(i)\)
\( x y z > 13600 \quad...(ii)\)
De \((i)\) tenemos:
\( z = 72 - (x + y) \quad...(iii)\)
Reemplazando \((iii)\) en \((ii)\):
\( x y [72 - (x + y)] > 13600 \quad...(iv)\)
Dado que \(x\) e \(y\) representan edades y estas tienen que ser mayores que cero para cumplir la inecuación \((iv)\), sin embargo si estas fueran igual a 1 se observa que no se cumpliría la inecuación lo mismo para el valor de 2, 3, ... , por tanto supongamos que:
\( x = y \quad...(v)\)
Reemplazando \((v)\) en \((iv)\)
\( y^2 [72 - (2y)] > 13600 \quad...(vi)\)
Resolviendo \((vi)\):
\( 23 \leq y \leq 25 \quad...(vii)\)
Busquemos los valores de las demás incognitas según \((vii)\), si \( y = 23 \) entonces en \((iv)\):
\( 23 x [ 49 - y)] > 13600 \quad...(vii)\)
Resolviendo \((vii)\) encontrarás los posibles valores de \(x\), por ejemplo se obtiene \(x = 22\)
Por tanto tendríamos:
\(x = 22\)
\(y = 23\)
De \((i)\) \(z = 27\)
Al reemplazarlos en \((ii)\) se confirma la inecuación por tanto son valores válidos.
De manera análoga puedes conseguir otra ternas de valores que cumplen las condiciones, por ejemplo tenemos:
\begin{matrix} x & y & z \\ 21 & 24 & 27 \\ 21 & 25 & 26 \\ 22 & 23 & 27 \\ 22 & 24 & 26 \\ 22 & 25 & 25 \end{matrix} \begin{matrix} 23 & 23 & 26 \\ 23 & 24 & 25 \\ 24 & 24 & 24 \end{matrix}En total son 8 ternas de valores que cumplen las condiciones.