Funciones - Relaciones, Par ordenado, Conjuntos Teoría - Primera parte

Definamos, recordemos algunos conceptos previos que nos ayudarán a comprender que es una función.
Conjuntos
Es una agrupación, colección de objetos llamados elementos.
Un conjunto puede ser representado gráficamente a través de un Diagrama de Venn.
Por ejemplo, tenemos que el conjunto A es:

Vemos que los elementos del conjunto son números y son los números 1, 2 y 3.
Luego expresado matemáticamente el conjunto A será:

Si tenemos que el conjunto B es:

Vemos que los elementos del conjunto son letras y son las letras a y b.
Luego expresado matemáticamente el conjunto B será:
Notar que en un caso los elementos son números y en el otro los elementos son letras.
Si tenemos el conjunto T y el conjunto R diremos que "R esta incluido en T" si:

Ejemplo1
Precisar si el conjunto R esta incluido en el conjunto T, si:



Solución
Si representamos los conjuntos en Diagramas de Venn notamos que:

Un conjunto puede incluir a varios conjuntos.
¿Cómo así?
Supongamos que tenemos un conjunto H y este tiene "n" elementos, entonces existirían 2ⁿ conjuntos que estarán incluidos en el conjunto H; estos conjuntos incluidos se llaman subconjuntos.
Par Ordenado
Es un ente matemático representado por (a,b),donde

A "a" se le llama primera componente y a "b" segunda componente.

Ejemplo2
¿Cuál es la primera componente y segunda componente de los siguientes pares ordenados?
a) (1,b)
b) (2,a)
c) (3,b)
d) (1,a)

Solución
a) Primera componente es 1 y la Segunda componente es b.
b) Primera componente es 2 y la Segunda componente es a.
c) Primera componente es 3 y la Segunda componente es b.
d) Primera componente es 1 y la Segunda componente es a.
Fácil ¿verdad?
Pero ahora nos preguntamos: ¿Podemos formar un conjunto cuyos elementos sean los pares ordenados del ejemplo2?
Sí se puede, supongamos que el conjunto se llame C, entonces:

Dado que C es un conjunto podemos representarlo gráficamente mediante un Diagrama de Venn.

Producto Cartesiano A X B
Se define el producto cartesiano A X B para 2 conjuntos, en este caso el conjunto A y el conjunto B.
El producto cartesiano A X B es un conjunto que tiene como elementos pares ordenados.
Simbolicamente:
Ejemplo3
Calcular el producto cartesiano A X B, si:



Solución
El distribuir los elementos de los conjuntos en un diagrama llamado "diagrama del árbol" no facilitará el cálculo del producto cartesiano de los conjuntos.

Luego:

Dado que el producto cartesiano A x B es un conjunto podemos representarlo gráficamente mediante un Diagrama de Venn.

Relaciones
Sean 2 conjuntos A y B. Un conjunto R cuyos elementos son pares ordenados se llama una RELACION de A en B si R esta incluido en el conjunto del producto cartesiano A x B.
Ejemplo4
Si los conjuntos A,B y C son los conjuntos mencionados a lo largo de este post.
¿C es una RELACION de A en B?
Solución
Sabemos que para que C sea una RELACION de A en B, el conjunto C debe de estar incluido en A x B.

Realizando un procedimiento análogo al ejemplo1, tendremos:

Donde claramente vemos que C esta incluido en A x B, por lo tanto C es una RELACION de A en B.
Existen varios conjuntos que estarán incluidos en A x B.
Más precisamente hablando, si A x B tiene n elementos, entonces existirán 2ⁿ conjuntos que estarán incluidos en A x B por tanto existirán 2ⁿ RELACIONES de A en B.
Todo esto porque A x B tiene 2ⁿ subconjuntos y todo subconjunto esta incluido en A x B.
Actualización: La segunda parte ya esta lista, la encuentras aqui.