Identidades Trigonométricas Problema resuelto

Problema

Demostrar:
\( {sen} 3x = 3 {sen} x - 4sen^3 x \)

Sug. Puedes usar identidades trigonometricas.

Solución
Podemos demostrar el ejercicio utilizando la fórmula de suma de ángulos pero el problema surge cuando el argumento es grande(hablamos de 5x, 6x, 7x, ...) debido a que el proceso resulta muy engorroso por ello desarrollaremos el ejercicio utilizando números complejos de esta forma fácilmente podremos calcular por ejemplo el sen5x.
Sabemos por este problema que el "seno de x" podemos expresarlo:
\( {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i} \textrm{ .....(}i\textrm{)} \)
También por el Binomio de Newton sabemos:
\( (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3} \textrm{ .....(}ii\textrm{)} \)
Ademas podemos generalizar la expresión (i) así:
\( {sen} 3x={e^{i(3x)}-e^{-i(3x)} \over 2i} \textrm{ .....(}iii\textrm{)} \)
Procedemos a elevar al cubo ambos miembros de (i): \( (2i)(sen x)=e^{ix}-e^{-ix} \\ \rightarrow [(2i)(sen x)]^3=[e^{ix}-e^{-ix}]^3 \\ \rightarrow (2i)^3(sen^3 x)=[e^{ix}-e^{-ix}]^3 \)
Aplicando (ii) y lo aprendido en este problema \( 2^3 i^3(sen^3 x)={e^{ix}}^{3}-3{e^{ix}}^{2}{e^{-ix}}+3{e^{ix}}{e^{-ix}}^{2}-{e^{-ix}}^{3} \\ \rightarrow 8(-i)(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-3{e^{i(2x)}}{e^{-ix}}+3{e^{ix}}{e^{-i(2x)}}-{e^{-i(3x)}} \\ \rightarrow 8(-i)(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-3{e^{i(2x)-ix}}+3{e^{ix-i(2x)}}-{e^{-i(3x)}} \\ \rightarrow -8i(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-3{e^{ix}}+3{e^{-ix}}-{e^{-i(3x)}} \\ \rightarrow -8i(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}}-3{e^{ix}}+3{e^{-ix}} \\ \rightarrow -8i(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}}-(3{e^{ix}}-3{e^{-ix}}) \\ \rightarrow -8i(sen^3 x)={e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}}-(3{e^{ix}}-3{e^{-ix}}) \)
Acomodamos para obtener expresiones similares a (i) y (iii) \( \rightarrow {-8i(sen^3 x) \over 6i} ={{e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}} \over 6i} -{(3{e^{ix}}-3{e^{-ix}}) \over 6i} \\ \rightarrow {-8\over 6}(sen^3 x) ={{e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}} \over 6i} -{({e^{ix}}-{e^{-ix}}) \over 2i} \\ \rightarrow {-4\over 3}(sen^3 x) ={1 \over 3} \times {{e^{i(3x)}}-{e^{-i(3x)}} \over 2i} -{({e^{ix}}-{e^{-ix}}) \over 2i} \)
De (i) y (iii) \( {-4\over 3}(sen^3 x) ={1 \over 3} {sen} 3x - {sen} x \\ \rightarrow {sen} 3x = 3 {sen} x - 4sen^3 x \)

Analogamente podemos calcular fácilmente el sen4x,sen5x, sen6x, sen7x, sen8x, sen9x, ...