Identidades Trigonométricas Solución

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Si se cumple que:
\(1 - Sen x = 8Cos x\)
Obtenga el valor de \(16 Secx - 5\)

Bosquejo:

Del enunciado tenemos la ecuación: \(1 - Sen x = 8Cos x \quad ...(i)\)
Elevando al cuadrado la ecuación \((i)\): \( (1 - Sen x)^2 = (8Cos x)^2 \\ \rightarrow 1^2 - 2(1)(Senx) + (Senx)^2 = 8^2 (Cos x)^2 \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 Cos^{2} x \quad ...(ii) \)
Dado que \( Cos^{2} x = 1 - Sen^{2}x\)
Luego de \((ii)\):
\( 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 (1 - Sen^{2}x) \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ 65 Sen^{2} x - 2Senx - 63 = 0 \)
Factorizando el polinomio:
\( \begin{matrix} 65 Sen^{2} x & - 2Senx & - 63 \\ 65 Sen x & & + 63 \\ Sen x & & - 1 \end{matrix} \)
\( \rightarrow (65 Sen x + 63 )(Sen x - 1) = 0 \)
Luego, resolviendo la ecuación anterior se observa que el \(Senx\) puede tomar 2 valores.
\( \textrm{Primer valor: } Senx = 1 \\ \textrm{Segundo valor: } Senx = -\cfrac{63}{65} \)
Nos solicitan calcular: \(16 Secx - 5\)
Luego del \( \textrm{Primer valor: } Senx = 1 \) ,se infiere que \(x = \frac{\pi}{2}\)
Sin embargo, recordemos que \(Sec \frac{\pi}{2} = +\infty\)
Por lo tanto lo solicitado \(16 Secx - 5\) tiende a \(+\infty\)
Si ahora elegimos el \( \textrm{Segundo valor: } Senx = -\cfrac{63}{65} \)
Reemplazando en \((i)\):
\(1 - Sen x = 8Cos x \\ \rightarrow 1 - \left( -\cfrac{63}{65} \right) = 8Cos x \\ \rightarrow Cos x = \cfrac{16}{65} \\ \rightarrow Sec x = \cfrac{65}{16} \)
Finalmente bastará con reemplazar el valor de la \(Sec x\) en \(16 Secx - 5\) para obtener el valor solicitado.