Es tan fácil como en un lugar que tengas controlado (como por ejemplo, la carpeta home o el escritorio) y seguir los siguentes pasos:
1. Abre la terminal en el directorio donde descargaste el HPLIP (a lo mejor te ayuda ésto)
2. Ejecuta el siguiente comando desde esa terminal:
sh hplip-3.14.10.run
*Necesitarás cambiar los caracteres hplip-3.14.10.run por el nombre del fichero que descargaste, acuérdate de este detalle.
Y por lo que más quieras, NO ejecutes el comando con permisos de superusuario (ni su ni sudo ni nada), simplemente escribe lo que yo te digo. Ya te pedirá el script el acceso a superusuario cuando lo necesite.
3. Sigue los pasos por defecto que te indica HPLIP y en unos cuantos minutos tendrás cualquier impresora HP funcionando como una cosaca en tu Ubuntu.