Integrales dobles - Area de un sector circular Demostración

ProblemaDemostrar que el área de un sector circular es: ½ αR² Sug. Usar integrales dobles en coordenadas polares.
Sector Circular
Para calcular el área de un sector circular:
\( \textrm{Area} = \frac{1}{2} \alpha R^2 \)

Usamos integrales dobles, pero al ser el sector circular parte de una circunferencia para no complicarnos con el calculo de la integral mejor calculamos en área usando coordenadas polares, para ello veamos que valores toman los parametros r y θ.
Nota: x = rCosθ ; y = rSenθ.
Valores del ángulo θ
De la animación (dar click en el boton ►):

Concluimos que: 0 ≤ r ≤ R
Concluimos que: 0 ≤ θ ≤ α

Calculo del Area
Para calcular el área en polares usaremos la siguiente integral doble.
\( \textrm{Area} = \int _{\theta=\theta_1}^{\theta=\theta_2} \int _{r=r_1}^{r=r_2} r \cdot dr \cdot d\theta \)

Ademas de las animaciones se concluyó que:

\( 0 ≤ r ≤ R \)

\( 0 ≤ \theta ≤ \alpha \)

Luego colocando los límites de integración:

\( \textrm{Area} = \int _{\theta=0}^{\theta=\alpha } \int _{r=0}^{r=R} r \cdot dr \cdot d\theta \)

Calculamos la integral:

\( \textrm{Area} =\int \limits_{\theta=0}^{\theta=\alpha } \cfrac{r^2}{2} \Biggr|_{0}^{R} d\theta \)

\( \textrm{Area} =\int \limits_{\theta=0}^{\theta=\alpha } (\cfrac{R^2}{2}-\cfrac{0^2}{2}) d\theta \)

\( \textrm{Area} =\int \limits_{\theta=0}^{\theta=\alpha } \cfrac{R^2}{2} d\theta \)

\( \textrm{Area} = \cfrac{R^2}{2} \int \limits_{\theta=0}^{\theta=\alpha } 1 d\theta \)

\( \textrm{Area} = \cfrac{R^2}{2} ( \theta \Biggr|_{0}^{\alpha } ) \)

\( \textrm{Area} = \cfrac{R^2}{2} {\alpha } \)

\( \textrm{Area} = \frac{1}{2} \alpha R^2 \)

Con lo que queda demostrado.