Numeración Bosquejo

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
¿Cuántos números naturales de tres cifras al multiplicarse por 40 dan por resultado números de cuatro cifras?

Bosquejo:
Denotemos un número de 4 cifras cualquiera como:
\( \overline{abcd} \)
Donde:
\(a\) puede ser el número \(1\) hasta el número \(9\).
\(b\) , \(c\) y \(d\) pueden tomar desde el número \(0\) hasta el número \(9\).
Según lo anterior el menor número de 4 cifras sería el \(1000\) y el mayor número de 4 cifras sería el \(9999\), es decir:
\( 1000 \leq \overline{abcd} \leq 9999 \)
Dado que \( \overline{abcd} \) es un número natural, el rango anterior también puede ser expresado como:
\( 999 < \overline{abcd} < 10000 \quad ....(i) \)
Supongamos que tenemos el número de 3 cifras: \( \overline{efg} \).
Según el enunciado del problema, tenemos que:
\( \overline{efg} \times 40 = \overline{abcd}\)
Reemplazando lo anterior en \((i)\):
\( 999 < \overline{abcd} < 10000 \\ \rightarrow 999 < \overline{efg} \times 40 < 10000 \\ \rightarrow \cfrac{999}{40} < \overline{efg} < \cfrac{10000}{40} \\ \rightarrow 24.95 < \overline{efg} < 250 \)
Corrigiendo el rango a un número de 3 cifras.
\( 100 \leq \overline{efg} \leq 249 \)
Del rango anterior puedes calcular la cantidad de números de 3 cifras que cumplen la condición solicitada.