TRIGONOMETRIA: Identidades Trigonométricas de ángulo Triple

Problema
[Nivel: Intermedio]
Calcular el Sen18°
Solución
En las Identidades Trigonométricas de ángulo Triple se relaciona un ángulo con el triple del mismo, por ejemplo si el ángulo es \( 18^{o} \) este es relacionado con \( 54^{o} \)
También sabemos que si dos ángulos suman \( 90^{o} \) entonces el Coseno de uno de ellos es igual a Seno del otro, por ejemplo si uno de ellos vale \( 54^{o} \) el otro valdrá \( 36^{o} \) y cumplirá que \( Cos54^{o} = Sen36^{o} \)
De la igualdad anterior vemos que ambos ángulos, \(54^{o} \) y \(36^{o} \), son múltiplos de \(18^{o} \), entonces:
\( Cos\underbrace{54^{o}}_{18 \times 3} = Sen\underbrace{36^{o}}_{18 \times 2} \)
Asumiendo que \( 18^{o} \) es x, se obtiene:
\( Cos3x = Sen2x \quad....( i )\)
Sabemos que:
\( Cos(3\beta)=4Cos^{3}\beta - 3 Cos\beta \quad....( ii ) \\ Sen(2\theta)=2Sen\theta Cos\theta \quad....( iii ) \)
Reemplazando \( ( ii )\) y \( ( iii ) \) en \( ( i ) \):
\( \begin{matrix} & Cos3x & = & Sen2x \\ \rightarrow & 4Cos^{3}x - 3Cosx & = & 2Senx Cosx \\ \rightarrow & Cosx(4Cos^{2}x - 3) & = & 2Senx Cosx \end{matrix} \)
Antes de simplificar(eliminar) el \( Cosx \) de la ecuación anterior debemos de validar que sea diferente de cero.
Como x vale \( 18^{o} \) y el \( Cosx18^{o} \) es un número mayor que cero entonces se puede simplificar sin problemas.
\( \begin{matrix} \rightarrow & 4Cos^{2}x - 3 & = & 2Senx \\ \rightarrow & 4(1 - Sen^{2}x) -3 & = & 2Senx \\ \rightarrow & 1 - 4Sen^{2}x & = & 2Senx \\ \rightarrow & 4Sen^{2}x + 2Senx - 1 & = & 0 \end{matrix} \)
Tenemos una ecuación de segundo grado donde la variable es el \( Senx \)
Sabemos que la formula general de una ecuación de segundo grado es:
\( ay^{2} + by + c = 0 \\ y = \cfrac{- b \pm \sqrt[]{b^{2}-4(a)(c)}}{2 (a)} \)
Aplicando la formula general de una ecuación de segundo grado considerando que la variable es el \( Senx \):
\( \begin{matrix} \rightarrow & Senx & = & \cfrac{- (-2 ) \pm \sqrt[]{2^{2}-4(4)(-1)}}{2 (4)} \\ \rightarrow & Senx & = & \cfrac{2 \pm \sqrt[]{20}}{2 (4)} \\ \rightarrow & Senx & = & \cfrac{2 \pm \sqrt[]{20}}{2 (4)} \\ \rightarrow & Senx & = & \cfrac{2 \pm 2\sqrt[]{5}}{2 (4)} \\ \rightarrow & Senx & = & \cfrac{1 \pm \sqrt[]{5}}{4} \\ \rightarrow & Senx & = & \Bigg\{ \begin{matrix} \frac{1 - \sqrt[]{5}}{4} \approx -0.3\\ \frac{1 + \sqrt[]{5}}{4} \approx 0.8 \\ \end{matrix} \end{matrix} \)
Vemos que el \( Senx \) puede tomar 2 valores uno positivo y otro negativo.
Sabemos que todas las Razones Trigonométricas son positivas cuando el ángulo se encuentra en el primer cuadrante, como x vale \( 18^{o} \) obviamente se encuentra en el primer cuadrante por tanto:
\( Sen18^{o} = \cfrac{1 + \sqrt[]{5}}{4} \)