Al monte se va con botas: ¡Judy Benjamin salvada!

Recordemos a la soldado Judy Benjamin. Hace cinco entradas la dejamos perdida en un terreno dividido en cuatro cuadrantes, NO, NE, SO, SE, donde las letras son los puntos cardinales. Llama al cuartel general y le dicen "si estás en el Norte, no estás en el Este", ahí la comunicación se interrumpe.
Se trata de saber qué probabilidades asignará Judy Benjamin a los otros tres cuadrantes. Algunos autores proponen resolver el problema con complicaciones como las siguientes para resolver el problema:
Principio de reflexión
Principio de simetría
Probabilidad Cinemática
Análisis semántico
El Principio de Simetría lo mencionó BaUmol que interpretó que la frase “si estás en el Norte, no estás en el Este” es equivalente a “si estás en el Oeste, no estás en el Norte” y, por tanto, no tendría sentido privilegiar la separación Norte/Sur de la Este/Oeste, así que la respuesta no puede dar 1/2 de probabilidad a NO sin dársela también a SE.
No interesa mucho ahora explicar lo que es cada uno de estos conceptos, baste decir que son intentos de deducir cosas cuando no hay información suficiente apelando a principios que, a priori, pueden parecer razonables. Estos principios pueden tener una definición precisa y llevar a deducciones lógicas a partir de ellos.
Argumentaré que nada de esto es necesario. Es más, argumentaré que cualquier intento de resolver el problema está abocado al fracaso. Simplemente no hay datos suficientes para resolverlo. Es como si nos preguntan a qué hora se encontrarán dos trenes que salen desde dos ciudades distintas y no nos dicen a qué velocidad van o a qué hora han salido. Cualquier cábala para dar una respuesta, por muy razonable que parezca, no puede dar lugar a una manera general de resolver problemas sin datos. Y esto es lo que intentan hacer todos los proponentes de soluciones para el problema en cuestión.
En el problema de Judy Benjamín, nos falta el dato de cómo obtiene el cuartel general la información. Puede ser de muchas formas. Veamos dos:

• El Cuartel General puede usar un satélite una vez nada más. Apunta el satélite al Norte, pero solo hay visibilidad en el cuadrante NE, donde no hay señales de Judy. No pueden hacer nada más con el satélite e informan a Judy: “Si estás en el Norte, no estás en el Este”.
• El Cuartel General puede usar un satélite una vez nada más. Apunta el satélite al Norte y eligen decirle a Judy un cuadrante en el que no está (si no está en ninguno, le dicen uno al azar). El mensaje es, nuevamente: “Si estás en el Norte, no estás en el Este”.

Lo que cambia según cuál de los casos sea el que ocurre es la probabilidad condicional de que se obtenga la información “Si estás en el Norte, no estás en el Este” (u otra proposición lógicamente equivalente a ella). En el primer caso, la información tiene 1/3 de probabilidad de ocurrir si está en cualquier lugar que no sea NE y tiene 0 de probabilidad si está en NE. En el segundo caso, la probabilidad de la información es 1 si está en NW, es 0 (cero) si está en NE, 1/2 si está en SW y 1/2 si está en SE.
Estas distintas probabilidades darán, metidas en la fórmula de Bayes, las probabilidades que Judy debe asignar a cada cuadrante NO, NE, SO y SE, y que serán (1/3, 0, 1/3, 1/3) en el primer caso y (1/2, 0, 1/4, 1/4) en el segundo. La conclusión de todo esto es que, como ya hemos advertido varias veces en este blog, para ir al monte de la incertidumbre hay que ir con las botas de la teoría de la probabilidad. No basta con la lógica proposicional, ni hace falta inventarse teorías ad hoc. Sabiendo usar el equipamiento adecuado podremos disfrutar del monte sin perdernos.
Efectivamente, el caso se parece al de Monty Hall (cuando no se sabía cómo se elegía la puerta) y no al de la Bella Durmiente ni al del Dormilón, donde la historia sí especificaba cómo se obtenía la información. El ganador es Roberto, que acertó con esta idea.