Algunos tipos de números primos

Los números primos han intrigado a los matemáticos (y no matemáticos) por más de 2500 años; y es que su comportamiento dentro de los números naturales es algo que hasta nuestros días sigue siendo un misterio.
No es de extrañarse que el gran el matemático húngaro Paul Erdös, dijera en una ocasión: "Quizá Dios no juega a los dados con el universo, pero algo raro sucede con los números primos".

Los números primos son números naturales que solo son divisibles por el uno y por si mismos, es decir, que cuando dividimos un número primo por un número distinto de el mismo y del uno, obtenemos un número que no es un entero.
Los primeros números primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
(Desde el siglo 18 se ha convenido en no considerar al uno como número primo).
Muchas preguntas pueden hacerse acerca de los números primos, tales como:

• ¿Cuántos números primos existen?

• ¿Cómo están distribuidos los números primos?

• ¿Hay alguna fórmula que produzca números primos?

Al correr de los años, muchos matemáticos han intentado dar respuesta a este tipo de preguntas y a muchas más concernientes a la Teoría de Números, y en su búsqueda, encontraron números primos que comparten ciertas características y que por alguna extraña razón, ahora reciben el nombre de sus descubridores.
Por este tipo de números podemos encontrarnos con los primos más famosos como los Primos de Fermat y a los Primos de Mersenne, pero también a otros no tan famosos como los Primos de Wieferich y los Primos de Wagstaff.
Discutamos brevemente algunos de estos tipos de números primos.
1. Primos de Fermat
Pierre Fermat fue lo que se conoce como un matemático aficionado que nació en Francia en 1601. Hoy en día es conocido como el padre de la Teoría de números y el Rey de los aficionados.
Fermat, como era su costumbre, conjeturó que todos los números naturales de la forma:
con -n- un número natural, eran números primos.
La afirmación de Fermat es cierta para los números n 0, 1, 2, 3 y 4. Ya que
son efectivamente números primos.
El enunciado quedo como conjetura hasta que en 1732 Euler probó que F5 es divisible por 641, esto es,

Con esto se demostró que la conjetura realizada por Fermat era falsa.
Hoy en día los números son llamados números de Fermat y únicamente se conocen los primeros 5 números de Fermat (escritos arriba y que ya conocía Fermat) como números primos.

La cuestión más importante por resolver es quizá: ¿Solo los números 3, 5, 17, 257 y 65537 son primos de Fermat? ó ¿existen más? Y en tal caso ¿Cuántos más? ¿5, 20, 1000 o una infinidad?
Se ha conjeturado que solo existe un número finito de primos de Fermat, sin embargo, también se ha conjeturado que existe una infinidad de estos primos.
2. Primos de Mersenne
Mann Mersenne fue un filósofo francés contemporáneo de Fermat y que mantuvo correspondencia con él.
Mersenne al estilo de Fermat, conjeturo en 1644 en su obra Gogitata PhysicoMathematica que Mn = 2^n -1 es un número primo cuando

y que no es primo para algún otro n menor a 257. Esta lista es muy interesante, ya que números como
son extremadamente grandes.
La pregunta que la mayoría se hace es: ¿Cómo le hizo Mersenne para hacer tales observaciones?, pues en su tiempo no había algún buen método para decidir si un número muy grande es primo o no.
Pese a lo buena que parezca la conjetura, la lista dada por Mersenne tenfa algunos errores que fueron demostrados finalmente 300 años después por A. Ferrier en 1947. Los errores son los siguientes: 
i) Los números M67 y M27 no son números primos.
ii) Los números M61, M39 y M107 son números primos. 
Los números primos de la forma

ahora se conocen como primos de Mersenne.
La búsqueda de primos de Mersenne se ha intensificado gracias al uso de las computadoras. 

Actualmente se concocen 47 números primos de Mersenne, el 12 de Abril de 2009 fue descubierto el último primo de Mersenne conocido, el primo es un número de 12837064 dfgitos, sin embargo, no es el primo más grande, pues el primo de Mersenne más grande fue el 46° primo de Mersenne descubierto y tiene 12978189 dígitos.
Paul Bateman, Paul Selfridge y Stan Wagstaff establecieron lo que se conoce como la Nueva Conjetura de Mersenne, que dice así:
Sea p un número primo impar entonces los siguientes dos enunciados son equivalentes: 
1. M, es primo.
2. Los siguientes dos enunciados son ambos verdaderos o ambos falsos: 

La pregunta que no puede faltar es ¿Cuántos primos de Mersenne existen? Se ha conjeturado, de manera natural, que existen una infinidad.


3. Primos de Sophie Germain
Sophie Germain (1776 — 1831) fue una matemática francesa que hizo grandes aportaciones a la Teoría de Números y estuvo interesada en resolver el último Teorema de Fermat.
Ella demostró en 1823 que si -p- es un primo de la forma p 2q + 1 donde -q- es también un número primo, entonces no hay enteros a, b y c distintos de cero y no hay múltiplos de -p- que cumplan la igualdad
El resultado anterior lo obtuvo en sus intentos por demostrar el Ultimo Teorema de Fermat y se conoce como el “primer caso del Ultimo Teorema de Fermat”.
Los números primos p de la forma p = 2q + 1 donde -q- es también un número primo, se conocen como primos de Sophie Germain.
Los primeros primos de Sophie Germain son:

La lista podría continuar usando los números primos 
q : 41,53,83,89,113,173,179,191,233,251,281
El mayor primo de Sophie Germain conocido a la fecha es el número
48047305725 x 2^172403-1
que tiene 51910 dígitos y fue descubierto el 25 de Enero de 2007. Se ha conjeturado que existe una infinidad de este tipo de primos.

4. Primos de Cullen

Los números de la forma 

fueron estudiados por James Guiten en 1905 y reciben el nombre de números de Guiten. Si un número de Cullen es además un número primo, este recibe el nombre de primo de Guiten. Cullen afirmo que aparte de C1 = 3 y quizá alguna otra excepción todos los números de Cullen para n de O a 100 eran números no primos, la excepción a la que se refería Cullen fue C53, el cual fue descartado como primo por Allan Joseph Gunningham quien descubrió que este número es divisible por 5591. Se ha conjeturado que existen una infinidad de estos primos. 
Algunos valores de n para los cuales se obtiene primos de Cullen son:

n = 1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419, 361275, 481899...
El primo de Cullen más grande que se conoce es 6679881 x 26679881 + 1, un megaprimo con 2010852 dfgitos y que fue descubierto en Japón en Agosto del 2009. 

5. Primos de Wieferich

En 1909 el matemático alemán Arthur Joseph Alwin Wieferich (1884 — 1954) publico el siguiente resultado con respecto al Ultimo Teorema de Fermat: 

El primo p mencionado en el teorema anterior es conocido como primo de Wieferich.
1093 y 3511 son los únicos primos de Wieferich que se conocen, el primero fue descubierto por W. Meissner en 1913 y el segundo por N. G. W. H. Beeper en 1922.
El 9 de Marzo de 2004 Richard Mclntosh completo una búsqueda de primos de Wieferich con un resultado desfavorable, pues no pudo encontrar nuevos primos de este tipo.
Se ha conjeturado que existen un número finito de primos de Wieferich, sin embargo, la conjetura abc en caso de ser cierta, establecerla que existen una infinidad de este tipo de primos. 

6. Primos de Wagstaff

Dentro de la nueva conjetura de Mersenne se mencionan una clase de números primos, los números primos de la forma 
donde q es primo.
Estos números primos se conocen como los primos de Wagstaff en honor al matemático Samuel S. Wagstaff Jr.
Los tres primeros primos son 
...683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883 y 2932031007403, son algunos ejemplos más de primos de Wagstaff.
El primo más grande que se conoce de este tipo es

y fue descubierto por Tony Reix en febrero de 2010. Algunos otros exponentes -q- que producen primos de Wagstaff o probables primos son:

3,5,7,11,13,17,19,23,31,43,61,79,101,127,167,191,199,313,347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079,267017,269987,374321,986191,4031399,... 

7. Primos de Wilson
Jhon Wilson (1741—1793) estableció en Teorema de Números el conocido Teorema de Wilson, que es utilizado a la hora de decidir si un número es primo o no.
Un número primo de Wilson es un número primo p tal que p^2 divide a (p - 1)! + 1.
Actualmente solo se conocen tres números primos de esta clase: 5, 13 y 563 descubiertos por Goldberg en 1953.
Se ha conjeturado que la probabilidad de que un número primo p sea un primo de Wilson es 1/p

8. Primos de Woodall
En 1917 H. J. Woodall introdujo los números que pueden escribirse de la forma
n x 2^n -1conocidos como números de Woodall.
Si un número de Woodall es además un número primo, este recibe el nombre de primo de Woodall.
Los tres primeros primos de este tipo son: 7, 23 y 383.
Algunos valores de n para los cuales se obtienen primos de Woodall son
n = 2,3,6,30,75,81,115,123,249,...
Se cree que casi todos los números de Woodall son no primos, sin embargo, esto es todavía una conjetura. El primo de Woodall más grande que se conoce es el número 
752948 x 23752948 - 1 el cual tiene 1129757 dígitos y fue descubierto en Diciembre de 2007 por Matthew J. Thompson.
Un hecho curioso es que el primo de Mersenne M521 = 2^521 - 1 puede escribirse también como un primo de Woodall, esto es,

Esta es la colaboración para el IX Carnaval de Matemáticas de Víctor Antonio Aguilar Arteaga UAQ a quién agradezco su colaboración y participación con tan interesante artículo, a la vez que animo a todos a participar aunque no se posea blog como ha hecho Víctor.