Aproximando logaritmos

Vía Literatura y Matemáticas

Uno de los aspectos que más cuesta a los estudiantes de secundaria es el de los logaritmos. El logaritmo (en base

) de un número

(que se representa por

$[;\log_a b;]$

), es el número al que hay que elevar la base

para que dé

, es decir,

$[;\log_a b=x\iff a^x=b;]$

.
Pero tal y como pasa con la exponenciación, la base más natural para los logaritmos es el número

$[;e\approx2'7172;]$

(del que tantas veces hemos hablado en este blog), en cuyo caso se llama logaritmo natural ó logaritmo neperiano y se denota por

$[;\ln;]$

. Sin embargo, en los institutos se suele enseñar este concepto a través del logaritmo en base 10 o logaritmo decimal, y que suele denotarse simplemente por

$[;\log;]$

. Pero dada la importancia que el binario tiene en nuestra sociedad de la información, resulta que los logaritmos en base 2 (

$[;\log_2;]$

) resultan ser también muy utilizados.
En este pequeño artículo, nos hacemos eco de una fórmula de aproximación en la que intervienen estos 3 logaritmos (quizás los más usados) y que aparece (según la fuente consultada, The Endeavour) en el libro de Donald Knuth (sí, el del

$[;\LaTeX;]$

) The Art of Computer Programming.
Sin más dilación os presento la fórmula de aproximación en la que se ven involucrados estos tres logaritmos:

$[;\log_2(x)\approx \ln(x)+\log(x);]$

A ver, que para calcular el logaritmo en base 2, basta calcular el neperiano y el decimal y sumarlos. Bueno, basta no. El resultado se parecerá al logaritmo binario, pero en principio, no debe coincidir.
Claro, aquí viene la pregunta de cualquier persona con un mínimo de interés: ¿Cual es el error relativo cometido?.
Pues muy sencillo. Si esa fórmula de aproximación es cierta, al dividir ambos miembros entre

$[;\log_2(x);]$

tendremos que

$[;1\approx\frac{\ln(x)+\log(x)}{\log_2(x)};]$

Y podemos decir que esta fórmula ya es, de alguna manera, adimensional. Por lo que el error relativo cometido será:

$[;\varepsilon_r=1-\frac{\ln(x)+\log(x)}{\log_2(x)};]$

Bien, ahora sólo falta establecer cuánto vale este error. Y para ello vamos a necesitar una propiedad de los logaritmos y que me permite escribir cualquiera de ellos como cociente de logaritmos neperianos.
Sabemos que

$[;\log_a b=x\iff a^x=b;]$

. Pero claro, también es cierto que

$[;a^x=e^{x\ln(a)};]$

, y como

, se deduce que

$[;e^{x\ln(a)}=b;]$

, o lo que es lo mismo,

$[;\ln(b)=x\ln(a);]$

. Pero como

$[;x=\log_a b;]$

, basta despejar para obtener la fórmula siguiente:

$[;\log_a b=\frac{\ln(b)}{\ln(a)};]$

Pues bien, aplicando esta sencilla fórmula a nuestro error relativo se tiene que:

$[;\varepsilon_r=1-\frac{\ln(x)+\frac{\ln(x)}{\ln(10)}}{\ln(x)/\ln(2)}=1-\left(1-\frac{1}{\ln10}\right)\ln2\approx0'00582282;]$

Lo que hace que el error relativo sea del

$[;0'58\%;]$

, un error bastante pequeño.
Así, podríamos decir que [\log_2(10)\approx1+\ln10\approx3'30259]; mientras que el valor real (aproximado con 5 decimales) es

$[;\log_210=3'32193;]$

.
En fin, una curiosidad que me ha permitido hablar de logaritmos y de algunas de sus propiedades. Espero que os haya entretenido.
Tito Eliatron Dixit

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