Revista Ciencia

Aproximando logaritmos

Publicado el 29 noviembre 2012 por Eliatron

Aproximando logaritmos

Vía Literatura y Matemáticas

Uno de los aspectos que más cuesta a los estudiantes de secundaria es el de los logaritmos. El logaritmo (en base
[;a;]
) de un número
[;b;]
(que se representa por
[;\log_a b;]
), es el número al que hay que elevar la base
[;a;]
para que dé
[;b;]
, es decir,
[;\log_a b=x\iff a^x=b;]
.
Pero tal y como pasa con la exponenciación, la base más natural para los logaritmos es el número
[;e\approx2'7172;]
(del que tantas veces hemos hablado en este blog), en cuyo caso se llama logaritmo natural ó logaritmo neperiano y se denota por
[;\ln;]
. Sin embargo, en los institutos se suele enseñar este concepto a través del logaritmo en base 10 o logaritmo decimal, y que suele denotarse simplemente por
[;\log;]
. Pero dada la importancia que el binario tiene en nuestra sociedad de la información, resulta que los logaritmos en base 2 (
[;\log_2;]
) resultan ser también muy utilizados.
En este pequeño artículo, nos hacemos eco de una fórmula de aproximación en la que intervienen estos 3 logaritmos (quizás los más usados) y que aparece (según la fuente consultada, The Endeavour) en el libro de Donald Knuth (sí, el del
[;\LaTeX;]
) The Art of Computer Programming.
Sin más dilación os presento la fórmula de aproximación en la que se ven involucrados estos tres logaritmos:
[;\log_2(x)\approx \ln(x)+\log(x);]

A ver, que para calcular el logaritmo en base 2, basta calcular el neperiano y el decimal y sumarlos. Bueno, basta no. El resultado se parecerá al logaritmo binario, pero en principio, no debe coincidir.
Claro, aquí viene la pregunta de cualquier persona con un mínimo de interés: ¿Cual es el error relativo cometido?.
Pues muy sencillo. Si esa fórmula de aproximación es cierta, al dividir ambos miembros entre
[;\log_2(x);]
tendremos que
[;1\approx\frac{\ln(x)+\log(x)}{\log_2(x)};]
  Y podemos decir que esta fórmula ya es, de alguna manera, adimensional. Por lo que el error relativo cometido será:
[;\varepsilon_r=1-\frac{\ln(x)+\log(x)}{\log_2(x)};]

Bien, ahora sólo falta establecer cuánto vale este error. Y para ello vamos a necesitar una propiedad de los logaritmos y que me permite escribir cualquiera de ellos como cociente de logaritmos neperianos.
Sabemos que 
[;\log_a b=x\iff a^x=b;]
. Pero claro, también es cierto que
[;a^x=e^{x\ln(a)};]
, y como
[;a^x=b;]
, se deduce que
[;e^{x\ln(a)}=b;]
, o lo que es lo mismo,
[;\ln(b)=x\ln(a);]
. Pero como
[;x=\log_a b;]
, basta despejar para obtener la fórmula siguiente:
[;\log_a b=\frac{\ln(b)}{\ln(a)};]

Pues bien, aplicando esta sencilla fórmula a nuestro error relativo se tiene que:
[;\varepsilon_r=1-\frac{\ln(x)+\frac{\ln(x)}{\ln(10)}}{\ln(x)/\ln(2)}=1-\left(1-\frac{1}{\ln10}\right)\ln2\approx0'00582282;]
Lo que hace que el error relativo sea del
[;0'58\%;]
, un error bastante pequeño.
Así, podríamos decir que [\log_2(10)\approx1+\ln10\approx3'30259]; mientras que el valor real (aproximado con 5 decimales) es
[;\log_210=3'32193;]
.
En fin, una curiosidad que me ha permitido hablar de logaritmos y de algunas de sus propiedades. Espero que os haya entretenido.
Tito Eliatron Dixit 
 
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